现代控制理论习题解答前五章

现代控制理论习题详解1第一章控制系统的状态空间描述311求图示网络的状态空间表达式，选取和为状态变量。CULI（1）1R2CIUOU1C2CI题311图12）RLCIUOUCI题311图2【解】1设状态变量、1CUX2C而、1CUCI22CUI根据基尔霍夫定律得121CCCIRCCCUCU整理得21012112210XUYUCRXCRXI2现代控制理论习题详解2设状态变量、LIX1CU2而CLUCI根据基尔霍夫定律得CLIIR整理得21021210XUYUXCXI312如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压输出为电动机角AU速度，电动机轴上阻尼系数为F，转动惯量J，试列写状态方程和输出方程。ARALAUDF常数FIJLMI题312图【解】设状态变量为AIX21其中为流过电感上的电流，电动机轴上的角速度。AI电动机电枢回路的电压方程为BAAEIRILU为电动机反电势。BE电动机力矩平衡方程为LDMFJ现代控制理论习题详解3由电磁力矩和反电势的关系，有，EBCAMDIC式中为电动机反电势系数，为电动机的转矩系数。ECM为电动机轴上粘性摩擦系数，电动机轴上等效转动惯量。JF整理得212121010XYMUJLXJFCLRXLAAMAE注解是非唯一的313试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。（1）1STKSK3SUSY12STK114ST5ST题313图1（2）ASC1SU1SYBSD2SUSESFG2SY题313图2现代控制理论习题详解4【解】1如题313图3设状态变量1TK22TK13K41T21451TSU6X4X2X5XX1SY题313图32411XTX32K2654241XTXT551166XUTKXY写成矩阵的形式得XYUTKXTKTKTX0010010100011552234（2）如图题313图4设状态变量现代控制理论习题详解53X1U1XA2XCDF4XBE2UYG2Y题313图421X2UCAX43FE224DGB1XY3写成矩阵的形式得XYUDCBDGFEAX01001注此题解并非唯一的314已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。1UYY26422373UYY2345现代控制理论习题详解64UYY324【解】在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）传递函数为6423SSG状态空间表达式为XYUX021461（2）传递函数为30723723SSSG状态空间表达式为XYUX012173（3）传递函数为74523SSG状态空间表达式为XYUX13205470（4）传递函数为20312344SSSSG状态空间表达式为现代控制理论习题详解7XYUX03110210315已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。（1）（2）6123SSG6512SSG（3）（4）21323【解】此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）XYUX11060结构图如图题315图1所示1X2XU63X3Y11题315图1（2）652652651322SSSSGUYXX2100现代控制理论习题详解8结构图如图题315图2（A）所示1X2XU3Y1655题315图2A或有31265132SSSGUXYX10结构图如图题315图2（B）所示U3Y12X2题315图2B（3）3142SSG1342SS现代控制理论习题详解9XYUX12340103结构图如图题315图3所示UY1X2X2314X3X323题315图3（4）123SSGXYUX12300结构图如图题315图4所示1X2XU33X3Y3题315图4316将下列状态方程化成对角标准型。（1）UX10650现代控制理论习题详解10（2）UXX1537261203（3）UXX0610【解】（1）特征方程为。051562D特征值为,21系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为AP范德蒙矩阵。变换阵1520,51121PP线性变换后的状态方程为UXUBXAX250011（2）特征方程为03216167123023AI特征值为。3,2,1设变换阵P32311P由得0IIPAI现代控制理论习题详解11当时，取1057213312P1321P当时，取2047123321432当时，取30371221P323P变换阵，3142152341线性变换后的状态方程为UXX1653207802（3）特征方程为。03216123D特征值为。,321系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为AP941322321P5011线性变换后的状态空间表达式为现代控制理论习题详解12UXX527301317将下列状态方程化成约旦标准型。（1）UXX102（2）375104（3）UXX104520【解】（1）特征方程为0313421AI特征值为。,设变换阵21P由得0IIAI当时，取1012P1当时，取3222，1P50线性变换后的状态空间表达式为UXUBXAX503011现代控制理论习题详解13（2）特征方程为03131242AI特征值为。,321设变换阵32311PP当时，由得，取3101AI013121P当时，由得，取3212PI10123P02当时，由得，取1303AI2133123变换阵，102P102P线性变换后的状态空间表达式为UXX43258103（3）特征方程为。0212543D现代控制理论习题详解14特征值为。2,132系统矩阵为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵A为P31321PD，121P2012P4213变换阵，4210P12301P线性变换后的状态空间表达式为UXX120318已知状态空间表达式，UXX3241103（1）试用进行线性变换，变换矩阵求变换后的状态空间表达式。XP1101P（2）试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。【解】（1）XPXP1现代控制理论习题详解15450321AP32811BUXX328145032（2）证明变换后的系统矩阵为，输入矩阵为AP1BP1特征值的不变性ASISISSI1传递函数矩阵的不变性BSICPASICBPASIPCG11111验证变换前的特征方程为04321D变换后的特征方程为221D所以变换前后系统的特征值是不变的。319已知两个子系统的传递函数矩阵分别为，试求两子系统串联后和并联后的传递函数SSG1021013SG矩阵。【解】（1）串联在前，在后时SG2S211363102132212SSSS在前，在后时现代控制理论习题详解16011325013021221SSSSGS（2）并联SSSSGS112342013021213110已知离散系统的差分方程为21523KUKYKY，求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。【解】根据差分方程，在零初始条件下，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为1532ZZG0120KXKYKUX其结构图如图题3110图所示1KX2U3KX3Y1Z1ZZ52题3110图3111已知离散系统的状态空间表达式为，10310221KUXKX，求系统的脉冲传递函数。12KXKY现代控制理论习题详解17【解】HGZICW1031Z123Z也可以直接写出。3112已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。（1）6123ZZG（2）542【解】此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）211060KXKYKUX（2）0110452KXKYKUX第二章状态空间表达式的解321试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵（T）。（1）（2）01041现代控制理论习题详解18（3）（4）210A45210A（5）（6）0101【解】（1）210201111SLSLASILTTESL21051205（2）TTSLSLASILT2COSSIN2I50414122111（3）2211112SSLSLASILTTTTEET（4）特征值为。2,132由习题3173得将A阵化成约当标准型的变换阵P为，4210P12301P现代控制理论习题详解19线性变换后的系统矩阵为2011APTTTAEE2012300421TTTATEPETTTTTTTTTTTTTTTEEEET348342522（5）为结构四重根的约旦标准型。043211026111023TTTTTTETTAT（6）4321虽然特征值相同，但对应着两个约当块。TATATEE210TT11TTTTTAEEA021022现代控制理论习题详解20TTTTTATEEE021或00111SSLASILTSSSSL1001102321TTTTTEE02322已知系统的状态方程和初始条件10,210XX（1）用LAPLACE法求状态转移矩阵；（2）用化标准型法求状态转移矩阵；（3）用化有限项法求状态转移矩阵；（4）求齐次状态方程的解。【解】（1）2100111SSLASILT现代控制理论习题详解21TTTTEESSSL21002110（2）特征方程为0212100AI特征值为。,3211101NRANKAIRANK110221NRANKIRANK由于，所以对应的广义特征向量的阶数为1。12N1求满足的解，得0PAI，01032P1再根据，且保证、线性无关，解得2PAI2T10对于当的特征向量，由容易求得233PAIT10所以变换阵为现代控制理论习题详解22，10321P10P线性变换后的系统矩阵为2011APTTTAEE20TTTTTTATEPEPE212000（3）特征值为。2,132101AET21T303AET即TTEA31231210TTE2140TTE213现代控制理论习题详解23TTTTE232210AAIEATTTTTE2004TTTTTTEEXT22010323试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。（1）（2）TTTSINCO0I01TET2015（3）（4）TTTTEET22TTTTEET3350250【解】（1）ITT01SINCO0I01不满足状态转移矩阵的条件。（2）IETT100152满足状态转移矩阵的条件。由，得。TATA现代控制理论习题详解2420120,20TTTEAET（3）IEETTTTT0220满足状态转移矩阵的条件。31242002TTTTTEEA（4）IEETTTTT03350250满足状态转移矩阵的条件。1451037251003TTTTTEEA324已知线性时变系统为，试求系统的状态转移矩阵。XTX21【解】取,21,211212TATTATTTATTA得DDIETTTDT200001,21312131,00200200TTTTTTTT325已知线性定常系统的状态方程为，初始条件为UXX12试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。10X现代控制理论习题详解25【解】11ASILTTTTTEESSLT2212123TEBTIAXT2500326已知线性定常系统的状态空间表达式为，已知XYUXX21,61状态的初始条件为，输入量为，试求系统的输出响应。10X0TETU【解】TTTTTTTTEEASILT5511414DBUTCXTCTY0104514521TTTTTTTTEEDEEEETTTTTTTTT0245145210DEEETTTTTT505252194108972949150455TETDEETTTTT现代控制理论习题详解26327线性定常系统的齐次方程为，已知当时，状态方程的解为TAX210X；而当时，状态方程的解为，试求TETX210XTET1系统的状态转移矩阵；T2系统的系数矩阵A。【解】0XT212121TX122121TTEE，TET21，T12TETTTTET2221310TA328已知线性时变系统为，试求系统状态方程的解。,0XTX【解】对任意时间T1和T2有221101,0TTATTA得21TTA所以有TTDADAIT01210,现代控制理论习题详解27322610501TT161025010,32TTXTX6150216501233TTTTTX第三章线性控制系统的能控性和能观性331判断下列系统的状态能控性。（1）（2）01,1BA10,34210BA（3）（4）021,103BA10,011BA【解】1，所以系统完全能控。2,10NRAKUABUCC27102BAC前三列已经可使，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。3NRAKUC（3）A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。现代控制理论习题详解28（4）A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。可以求一下能控判别阵。，所以系统不完全能控。2CRANKUBABU332判断下列系统的输出能控性。12XYUX0102131XYUX01106【解】（1）已知，021,103BA01C0D132CBD前两列已经使，所以系统输出能控。22MBCARANK（2）系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩，且输出维数M小于状态维数N，所以状态能控则输出必然能控。233判断下列系统的能观性。1；2XYX120341；XY10现代控制理论习题详解293；（4）XYX1032XYX410【解】（1）已知120,34210CA4210CAV前三行已使，30NRAK所以系统完全能观（后续元素不必计算）。（2）1,01CA2,200NRAKVV所以系统完全能观。（3）状态空间表达式为约旦标准型，且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。（4）状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求2,0,416020RANKVCAV所以系统不完全能观。现代控制理论习题详解30334设系统状态方程为，若、是系统的能控状态，试证状态BUAX1X2也是能控的（其中、为任意常数）。21X【解】设XCY因为，状态和能控，所以至少有1X2。21BABRANKN而由系统输出能控的判别阵得，（C阵又满秩）。12CRACBRANKN所以一定是能控的。XY335设系统1和2的状态空间表达式为221110430XYUXYU（1）试分析系统1和2的能控性和能观性，并写出传递函数；（2）试分析由1和2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数；（3）试分析由1和2组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。【解】（1）2,2312,4101OOCCRANKVVRANKUU22XYU两个子系统既能控又能观。（2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同）系统有下关系成立，U112Y2现代控制理论习题详解3121XXXCYUXUBABX10001243212,41032CCRANKUBAU3,4722OORANKVCAV串联后的系统不能控但能观。传递函数为112212BASICBASIGS343404312211SSSSS（3）并联后的系统数学模型为系统有下关系成立，U2121Y并联后的状态空间表达式为XXCYUXUBAX121020430113,42132CCRANKUBAU现代控制理论习题详解323,4562312OORANKVCAV并联后系统既能控又能观。传递函数为2121121BASICBSIGS6783404312232SSSS336已知系统的传递函数为1827103SSAG（1）试确定A的取值，使系统成为不能控或为不能观；（2）在上述A的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；（3）在上述A的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。【解】系统的传递函数可以写成613182703SSASASG1当1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不A能观或即不能控又不能观。2在上述的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；能控标准型为XAYUX01102783在上述A的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。能观标准型为现代控制理论习题详解33XYUAX100278337已知系统的状态空间表达式为XCBAYUAX01试问能否选择常数、B、C使系统具有能控性和能观性。A【解】2CCBBAU在上述行列式中，无论、B、C如何取值，都有两行元素线性相关，则，A0CU。2CRANKU220CBAV在上述行列式中，无论、B、C如何取值，都有两列元素线性相关，则，A0V。20RANKV所以，无论常数、B、C取何值，系统都不能控和不能观。338系统的结构如题338图所示，图中、B、C、D均为实常数，试建立系统的状A态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时、B、C、D应满足的条件。TUB1TXA2TXDY现代控制理论习题详解34题338图【解】系统状态空间表达式为XYUBDCAXYUBDCA011122系统能控的条件为。0CABDUBDCAABUC系统能观的条件为。,010VCACVO339设系统的系数矩阵为,CA0,010132CAAA其中为实数。试问系统能观的充要条件是什么要求用A、C中的32,CA,CA参数具体表示。【解】0,001312310312231211ACACVAACACCCA3310已知系统的状态空间表达式为XCYUBX212130欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数应满足的关系。21,B【解】现代控制理论习题详解352,1,023AIFA为友矩阵，且特征值互异，所以1,2112121PPXXCCYUBX2120显然，当状态既能控又能观，而状态既不能控又不能观的条件是2X0,0121BBCC021BC当状态既能控又能观，而状态既不能控又不能观的条件是XX02,121BBCC021BC3311设N阶系统的状态空间表达式为，试证CXYUA（1）若CB0，CAB0，CA2B0，CAN1B0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。（2）如果满足CB0，CAB0，CA2B0，CAN2B0，CAN1B0则系统总是又能控又能观的。【解】（1）以三阶系统为例BCABCABABCUVC43432222000,0CCUV所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。（2）以三阶系统为例现代控制理论习题详解36BCAKKBCABABCUVC4343222200,030CCUVCKV所以该系统既能控又能观。3312已知系统的微分方程为，试写出对偶系统的状态空间表达UYY616式及其传递函数。【解】因为11SGBASICASIBGTTT原系统对偶又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。6123SSG系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。能控标准型为XYUX061061能观标准型为XYUX10063313已知系统的状态方程为，试求出它的能控标准型。UX12【解】。2,NRAKUABUCC所以系统不能控，不存在能控标准型。现代控制理论习题详解373314已知系统的状态空间表达式为试求出它的能观标准型。XY1420【解】判系统的能观性2,43100RANKVCAV所以系统能观。方法之一求变换阵12,210,1010TATV设对原状态空间表达式做线性变换得XT0XY1054方法之二依据特征多项式直接可以写出能观标准型的A，C阵。452SASIF，。1010C3315已知系统传递函数为，试求能控标准型和能观标准型。34862SSG【解】系统的传递函数可以写成1345348622SSS传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。能控标准型为现代控制理论习题详解38UXY251043能观标准型为UXY1025433316已知完全能控系统的状态方程为，试问与它相应的离散化方U10程是否一定能控。SINCO1COSIN1KUTKXTKX【解】已知，SISI离散系统完全能控的条件为矩阵满秩。CM而，所以系统是否能控，取TTGHMCSINCOS1SINSIO12决于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。TTCSINCO2SINSIC21I2MC当时，离散化方程也是能控的。,21NKTRAK3317试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。（1）1,10,34012CBA现代控制理论习题详解39（2）1,10,4120CBA【解】（1）按能控性进行结构分解2,931042CCRANKUBAU所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵。CT，031CT0131CT按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为CCCXYUXX120042按能观性进行结构分解2,59123020RANKVCAV所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵。10P，01230P2130P按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为现代控制理论习题详解40000121431XYUXX（2）按能控性进行结构分解2,1022CCRANKUBAU所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵。CT01,011CCTT按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为CCCXYUXX10204按能观性进行结构分解2,120020RANKVCAV所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵。10P10,010PP按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为现代控制理论习题详解4100011231XYUXX3318试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。（1）；013,210,421403CBA（2）。1,2,1023B【解】（1）系统的特征方程为01234AIF化为对角标准型，其变换阵为00113534297,18731021PP化成对角标准型为XYUX3100167204可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。其中为能控能观的状态变量；为能控不能观的状态变量；为不能控3XCOX1OCX4现代控制理论习题详解42能观的状态变量；为不能控不能观的状态变量OCX2OCX将上述方程按，的顺序排列，则有OCXOCXYUXX03106714022432413或写成XYUXOCCOOCCO0310671140（2）3,20612CCRANKUBAU3,1475020RANKVCAV系统既能控又能观，无需分解。3319已知系统的微分方程为，试分别求出满足下列要求的状UY8634态空间表达式（1）系统为能控能观的对角标准型；（2）系统为能控不能观的；（3）系统为能观不能控；（4）系统为不能控也不能观的。【解】。13501345234862SSSSG传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。现代控制理论习题详解433501SUSUSY设UXXUXSSX130133122212XUXY21215050人为增加一对偶极子，SSSG系统能控不能观的状态空间表达式为UXYX2501043系统能观不能控的状态空间表达式为UXYX102543系统既不能控又不能观的状态空间表达式为UXYX051133320已知系统的状态空间表达式为，利用线性变换，XYUX2103TX其中，对系统进行结构分解。10T试回答以下问题现代控制理论习题详解441不能控但能观的状态变量以，的线性组合表示；1X232能控且能观的状态变量以，的线性组合表示；3试求这个系统的传递函数。【解】111,0CTBTAT线性变换后系统的状态空间表达式为XYUXX1002231321系统的特征方程为02AIF将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为，2105P021641P约当标准型为521,024,1011PCBPPA为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态不能控。A3X因为，TXP1XX0234所以不能控但能观的状态变量32134现代控制理论习题详解45能控且能观的状态变量1322101XX线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传递函数XYU12402410SBASICGCOCO21S3321已知系统的传递函数矩阵为，34SG（1）求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；（2）求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；（3）用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。【解】3,2,1NMR3421SUSUSGY1029616223SSS能控标准型为UXX10610UXY1032691系统状态图如题3321图1所示。1X2XU3X31Y192Y66123题3321图1现代控制理论习题详解47能观标准型为UXUBXIAIXMM1362901060060212210UXY21系统状态图如图题3321图2所示。1X2X2U3X1Y4X5X4532Y6X69136616题3321图2对角标准型为1031342121SUSSUSSY2132SUSY设31,21,1321SSXSXSUSX现代控制理论习题详解48UXXSUSSY332UXY10013221系统状态图如题3321图3所示。1YU122X2X23X32Y题3321图33322已知系统的微分方程为，试求该系统的最小实现。21221UYY【解】由（1）式（2）式和2（2）式（1）式得2123UY在零初始条件下，拉氏变换得现代控制理论习题详解491221SUSY131132122SSSUSUY122SUSX212122121030,00UXYUXX,1NRAKUABUCC2,312000RVCV系统完全能控能观，所以上述系统为最小实现。3323从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明下图题3323图中闭环系统的能控性与能观性和开环系统0的能控性与能观性是一致的。0TUTY题3323图【解】设开环系统的传递函数为，则开环系统能控且能观的条件是无零极点0SDMG对消，即和无公因子。而闭环系统的传递函数为。SMDSDMSG开环系统传递函数有零极点对消时，和有公因子，设为。0SA则闭环系统传递函数也有零极点对消，所以闭环系统的能SDMAG控性与能观性和开环系统0的能控性与能观性是一致的。现代控制理论习题详解50开环系统传递函数没有零极点对消时，和没有公因子，则闭环系0SGSMD统传递函数也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统的能控DMS性与能观性和开环系统0的能控性与能观性也是一致的。第四章控制系统的稳定性341试确定下列二次型是否正定。131231232164XXXV2203312313144XXXXV【解】（1）0413,041,0,134P二次型函数不定。2034103,13,0,4103P二次型函数为负定。3017241039410,1240P二次型函数正定。342试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。31231231214XXCXBAXV【解】3123123121现代控制理论习题详解51XCBAXT112021,01,1CBAA满足正定的条件为11140CABCA343试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。104133201XXX【解】（1）设2150XXV为半负定。02211XV又因为时，有,00则，代入状态方程得2X1X所以系统在时，不恒为零。0V则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（2）设2150XXV2121212133XXV现代控制理论习题详解520351,0351XXTPT负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。P（3）设2150XXV2121221XXVXXT0P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。P（4）两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。050211211XXVXVX2222所以系统不稳定。344试确定下列系统平衡状态的稳定性。0132KXKX【解】方法一采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。0132ZZAIZF1234697I0Z特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。现代控制理论习题详解53方法二采用第二方法，。0132G设105P因为10，所以正定。075101P正定。PXVTKGK01320132051302PGT851764因为80，所以正定。052765480485164P为正定，所以系统在原点不稳定。KV345设离散系统状态方程为，求平衡点渐近稳0021KXKKX0EX定时值范围。K【解】现代控制理论习题详解54方法一采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。02/01ZKZAIZF05321Z时平衡点渐近稳定。2012K05K方法二正定。PXVTKGKQXVT令I，设PGQT32131P10020123213132311KPKPGT,131P22244KK所以224101KKP现代控制理论习题详解55为正定，则时系统渐近稳定。P20412KK346设系统的状态方程为，试求这个系统的李亚普诺夫函数，212150XX然后再求从封闭曲线边界上的一点到封闭曲线内一点的响应时间上V05V限。【解】令IQPAT求矩阵，即P105120512021P2145所以李氏函数为212505XXV2011IPIQ则，30621938510LN,LNMI0TXVT347试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。现代控制理论习题详解562121213212XXXX【解】（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化XXTFFA2SSASI系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得1312123002110XXXTXXFFA2SSASI系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。348试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数、的取值范围（其中二者均大AB于或等于零，但二者不同时为零）。3212BXAX【解】ABXAXFXFAT1031022110ASSSI结论系统在原点渐近稳定的充要条件是大于0,任意（同时还需满足题目要AB求）。349试证明系统在2121XAX时是全局渐近稳定的。0,21【解】现代控制理论习题详解57求平衡点00212121EXXAX设2150V21221XAXAXAX01V结论，正定；，负定，系统渐近稳定。01AXV02AX因为时，所以系统又是大范围渐近稳定。2153410试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点处为大范围渐近稳定时，参0EX数和的取值范围。AB3212XX【解】221131BXAXFXFJT令IPXFXVT3122XFBAFFJFXVT系统在处渐近稳定的条件是负定。而负定的条件为0EXVXV01331,22ABBA现代控制理论习题详解58大范围渐近稳定的条件是时XXV而时，X