线性代数课后习题答案邹庭荣李仁所张洪谦

1习题111计算下列行列式解一由三阶行列式定义得71350663103516709542解二2311237708RR23325100818346RR（2）解213241001035556673RR341205137R（3）DCBA10解3421010RCBAAABCDBD2110BCABCD122101RABCDAABCDA（4）201634解43432211036604RR2431021R（5）493621594解34322161964795709516249RR（6）22ABC解221CABAB12计算行列式ABCD解12341RABCDBADCAC413200CBADCBADCACABCDDB321000RAACBCCBDD21CABDABDAABCCBCDC13计算阶行列式N（1）N3213解121120311NRN（2）14313N解121212312341341NCNNN21310102011NRN11002312NNN（3）21解,21102112ND按第一列展开成两个行列式得2021112ND42131112122023333NRNNNNDD1221225NN122333NNN14证明（1）3221BABA证32122100CABAB左3222321310CABBABA右（2）221122111CBAACB证1111111122222222BCABCCBAAB左11112222CCBBAA111222CAB1122C右（3）32132321CBACMLCKBBALA证3223123231LMCKLCKCC左123CKABC右5（4）224411ABCDCCBCAD证24312244222221110RAABDCADACB左22222ABACD22211CDBCDAA21222RABCCBD23122110RBACDACBBAA22DBAC2211BACDCBCBADBADCCBBACDCBABADCD右15计算行列式XYYXY000解记,00NXYDXY当时，11X当时，按第1列展开得2N000NYXYXDXYX6100NYXYX1NNY16计算4阶行列式（1）2222222231DDCCBBAA解21342222231CAAAABBBBCCCDDDD43201CABD（2）1234400ABBA解11222114333444000ABABABBA2233111433ABAB142314231423AB17如果行列式，NNNAA212112试用表示行列式的值NNNAA11233212解12212131232112121NRNNNNNNNAAAA718证明NNNAAA212100证11212200NNNNNAAA19利用克莱姆法则解线性方程组0674529382421431XX解方程组的系数行列式，1327002146D由克莱姆法则知，方程组有惟一解进一步计算，有，185193082476D2851906827D，,32189627054D4158309272D方程组的解为1234,1,XX110问取何值时，齐次线性方程组可能有非零解120X解方程组的系数行列式,211D当或时，方程组可能有非零解10补充题B11计算行列式1132121NNAAXXAA8解1211231NNNXAADXAA12123110000NNCANIINXXAXAXAB12计算行列式NNNAABAB222111解111222NNNNBDABAA2131200NRANBB3122121NNNBBB13计算行列式XAXN210210解0211NNADAX21302101NRNNIINAXAXB14计算行列式22SINCOSI9解12222SINCOSCOSIC3221CS1O0CB15计算行列式21112ND解见13（3）B16证明,101021210NINAAA20N（）证011212210001NNAAA左12101221201001NNIRRNNNIAAAB17证明1210121001NNNNAXAXAX证,按第列展开得121001NDAX左N110NNNXAXD10111211221,NNNNNNNNAXDXAXAX又，所以有02011D2110NNNNNAXAXA左右习题221设，求T6,3T5,T3,4（1）；72（2）解（1）371,362,54,37,241TTTT解（2）2022设，,T,T（1）将化为单位向量；（2）向量是否正交,解（1）,T1,2T1,20解（2）由于,所以向量正交,0,23计算（1）；392162374（2）1051解（1）47621329303解（2）1175643124计算下列乘积（1）解431735285049（2）11解3116212084（3）112122120NMMNDAAD解11221200NMMDAAD11212212NMMNDAAD（4）1122210NMMNAAD解2112220NMMNNAADD1212212NMMNADAD（5）12131232,AXX解12131232,XXA2213121323AXAX25已知，,0A4,TB求和BT解524801TA26如果，证明当且仅当时成立1EBA2EB212证必要性已知,且,有21EBAA2,12BE即,142化简得2充分性由得EBA,又,代入得2,化简得2A证毕27设，其中是阶单位矩阵，是维单位列向量证明TEENN对任意一个维列向量，都有NA证因,故对任意一个维列向量有,2TA2TA从而有2,2,TTT24,TTTTTT故有，证毕A28对于任意的方阵，证明A（1）是对称矩阵，是反对称矩阵；TT（2）可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和证（1）由,所以是对称TTTATA矩阵；,所以是反对称矩阵TTTAAT证（2）1229证明如果都是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件B,NAB是与是可交换的AB证必要性因，且,有,TAT,B所以与是可交换的充分性由，及，得,TA，A13所以是对称矩阵AB210设是一个阶对称矩阵，是一个反对称矩阵，证明是一NBBA个反对称矩阵证由，得,TTTTABA，B所以是一个反对称矩阵211设是个线性无关的向量，N,1NNKK21其中全不为零证明中任意个向量线性无关12,K121,证从向量组中任取个向量，设21,N211,IIN有一组常数使得,JLI（）1111IINLLLO当时，线性无关，结论成立；INN,当时，将代入（）式得NKK211112,IINNLLLLKO整理得111111NININIINILKLKLL,NO由于是个线性无关的向量，所以N,1，11111111000NNIIIINNIIIINNNLKLKLLLKLKLL由于全不为零，所以，则向量组12,NK,JI线性无关，故中任意个向量线性无11,IIN121N关212设向量组线性相关，向量组线性无关，321,432,（1）能否由线性表示证明你的结论或举出反例（2）能否由线性表示证明你的结论或举出反例4321,解（1）能由线性表示因线性相关，必有一组不全为零321,的常数，使得，下面只要证明即可23,K123KKO10K若，则不全为0，于是有，即线性相关；1023,2323,又由线性无关，所以其部分组必线性无关，得出矛盾，从而各432,14，即能由线性表示10K132,解（2）不能由线性表示如，4321,1,0T2,1,0T，显然，线性相关，线性无关，3,T0,T321,43但是不能由线性表示4321213求下列矩阵的秩（1）793185解2134551107483978R，所以矩阵的轶为232451040R（2）1012，23410102R43013R所以矩阵的轶为4214判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来（1）；TTT6,31,21,解用所给的3个向量作为列构造矩阵，123,6A对矩阵A施行行初等变换，3121231,06RB矩阵B的秩3，所以向量组线性无关（2）TTT14,73,21,0,4,21解用所给的3个向量作为列构造矩阵15，123031,742A对矩阵A施行行初等变换4321123001,74R，2301RB矩阵B的秩2，所以向量组线性相关，其中是其极大无关组，12,312215利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵（1）1解011AE213410021R432100214R431200221414R3421031414R,12301414R因此11A16（2）210解012AE2100312R2340011732R437100011237R342000114146237R,23101641234237R因此1631427A216求解矩阵方程（1）6354X解记矩阵方程为,其中,AB1253,346B由于，所以可逆，故12034A1XA构造,2135076632RB所以17032XA（2）514117解记矩阵方程为,其中,XAB21130,425B由于，所以可逆，故30A112321010|RE,13203210R因此，从而有13A1130214283550XB217已知，,01243A87123B试用初等行变换求解依据可得1EA初等行变换21123031047095788RAB3213121233212640195701957264,03013RRRR所以3215461BA218用分块法求（1）010321,24AB解；0032103212441B18（2）23010213,51403AB解2101512330940243AB219用分块法求下列矩阵的逆矩阵（1）140523解,1233025250414AOA因则1111235,348A1021859A（2）100COSIN0AB解COSINCOSIN0010010AABAB,12OA因，11COSINCOSINI，所以212001ABABA12COSIN0I010AB220把下列向量组正交化（1），,1T2,3T1,49T19解用施密特正交化方法得，1，2121,603，3132311,4802239则是正交向量组321,（2），,01T21,0T31,0T解用施密特正交化方法得，1，212103,23，313231103,22354则是正交向量组321,221已知，12,0,0,1TT31,T，（1）求与的夹角；（2）求；（3）40,T1234求一个与等价的标准正交向量组234,解（1）因为，220，2013，,1所以,6ARCOSARCOSARCOS23（2）因1234，,0,1,0,13,125TTTTT所以22123459（3）先将向量组正交化12,20，10，212012,，313231120,25，4341424,，00112则是正交向量组1234,再将单位化，1102，22110，331201，441021则即为所求1234,222判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间1次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算；1N2阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；3平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；4主对角线上各元素之和为零的阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运N算21解（1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性（2）是（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性（4）否，加法运算不满足封闭性223在维线性空间中，分量满足下列条件的全体向量能否构NNRNX21成的子空间NR1；2120NXXL121NXXL解（1）设，且满足122,NNNYRX120,NXL；又，满足，120NYYL1122NNYXX12XYL，而满足故此条件下0NXY12,NKXKRM120,NKXL能构成的子空间NR解（2）设，且满足1122,NNNXYR121,NXXL，而，有，121NYYL1122NNXYX12XYL，故此条件下不能构成的子空间21NXYR224假设是线性空间中的向量，试证明它们的线性组合的全体构,V成的子空间这个子空间叫做由生成的子空间，记做V,L证设有两组系数构成的两个线性组合，分别为123123KL与,，且,其中是线性空间的123KL12V非空子集；（I）；（II）是任12123KLKLLK意数，有，故构成的子空间KLV225设和是线性空间的两组向量，证明生成12,S12,TLNV子空间和相等的充分必要条件是和ST12,SL等价12,TL22证必要性已知，则必有12,SL12,TL是的子空间，可由线12,SL12,TLSTL性表示，同时是的子空间，从而可T12,S12,T由线性表示，故和等价12,S,SL12,TL充分性已知和等价，则可由12,S12,T12,S线性表示，有是的子空间，同时12,TL,S,T可由线性表示，从而是T12,SL12,TL的子空间，故和相等12,S12,ST226试证在中，由，生成的子空间与由4R,0T,T，生成的子空间相等,3T0,1T证记，,T21,0T12,3T2,T的两个生成子空间和,由于且12,L1212123,，所以向量组和等价，故生成子123,1空间和相等,12,227在中，求向量在基3R3,71T12,56,0TT下的坐标解构造矩阵31212363,7175200R1321308211RR，3208254R故向量在基下的坐标为123,123,3,82154T228设是线性空间的子空间，证明，若的维数等于的维数，WNVWNV则NV证明由是线性空间的子空间且的维数等于，则存在个线性无关N的向量是的一组基，故；又由是线12,NL12,NL性空间的子空间，则是的一组基，故，NV12,NVLN12,NVL23所以WNV229设、是线性空间的两个子空间，证明的非空子集12VV12,W构成的子空间这个子空间叫做与的和子空间，记做V11W2证由的构成可知，它是线性空间的非空子集，下证构成的子空间设VV有，满足，,W1212,1122,则，其中，21，所以；又任取数，有故构22WK2KW成的子空间V230判断下列向量组的线性相关性（1）；23,1,01,0（2）；34（3）123,2,解（1）设有一组常数使得13K，1223,1,0,KKO即，312,K得方程组，1230K据克莱姆法则知该方程组只有零解，1230K故线性无关123,解（2）法一（依内容进度）显然，即有一组不全为零的常数312，13,1KK使成立，所以线性相关2231O123,解（2）法二设有一组常数使得2,K，12313,4KKO即，2312,4,0KK得方程组，12304K因，2031A24故方程组有非零解，所以线性相关123,K123,解（3）法一（依内容进度）显然它们各自前3个分量构成的向量,组线性无关（本题的（1），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），线性无关123,解（3）法二设有一组常数使得123,K，12,0,0,0,KO得方程组，1323120KK该方程组只有零解，230K故线性无关123,231求下列向量组的秩，并判断其线性相关性（1）；23,10,5,1,6TTT（2）；T420,74（3）TT123,3,2解（1）用所给向量组构造矩阵，12301,56A对矩阵A施行行初等变换，2132351001056RRB矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，所以向量组线性相关123,解（2）用所给向量组构造矩阵,123031,742对矩阵A施行行初等变换,214332100031274RRB矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，向量组线性相关123,解（3）用所给向量组构造矩阵25，123410,2A对矩阵A施行行初等变换，3432461110003222RRB矩阵B的秩是3，故矩阵A的秩是3，向量组线性无关13,232利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵（1）201解因,故存在，3200A1A计算代数余子式得，121321231,0,7A，从而得323,A,7012所以12701A（2）47012解因,故存在，50A1A计算代数余子式得，1121321223,4,4,1，从而得313238,AA,8412所以1348152A（3）401626解因,故存在，124016A1A计算代数余子式得，11213212231,4,8A，从而得323,A,01348所以1021348A（4）11解因,故存在，1601A1A计算代数余子式得，112131421223244,A，31323341424344,AAA从而得,44所以1411416A233（1）若，证明可逆，并求；32AEOA1（2）若，证明可逆，并求24AE证（1）由32，32EAE即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为BBA12A证（2）由4O，122EAEE27即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为12BAEBA234设矩阵满足关系式，且，求矩阵,23014B解由关系式，整理得，再由矩阵的分配律得2ABAB，E即，1又由，则有,求其逆矩阵得3014A1022AE，110212E故矩阵13052431BA235将下列矩阵化为行最简形矩阵（1）02373解21341002137325R4343221100724136RR2107123R（2）7312026354解41271731332026306540R2321371723026000RR281201516230R补充题B21如果，则称阶矩阵为幂等阵设是幂等阵，证明A2NAB,（1）如果也是幂等阵，则；BOB（2）如果是可交换的，则是幂等阵,证（1）若是幂等阵，则必满足,展开得2，22ABAB又由是幂等阵，即，则上式简化得，证毕,OBA证（2）已知，且是可交换的，即，则有22,22ABAB2AB,2故是幂等阵ABB22证明主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵证把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得123231NAAAEB1232301,00NAA其中，矩阵为主对角线元素全为0的上三角形矩阵B任取两个主对角线元素全为1的上三角形矩阵，分别记作，11AEB，其中为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则22AE12,，1212121BEB由矩阵乘法定义，可知为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，再由矩阵加法12定义，得仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有1是主对角线元素全为1的上三角形矩阵，证毕12AEBB23设是可逆矩阵证明如果是可交换的，则也是可交换BA,BA,1的证已知是可交换的，即满足；又由是可逆矩阵，则有BA,29,11111ABABABA所以是可交换的,B24设为阶矩阵，且可逆证明对矩阵施行初等,NN2|行变换，当把矩阵变为单位矩阵时，即变为AEBA1证由初等变换的性质，对矩阵施行初等行变换，相当于在矩阵N2|的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵，使得题目叙述BA|12,NP的运算过程即为,21212121|NNNNPABPABEB则有,即，从而,即对矩阵E1PAN施行初等行变换把矩阵变为单位矩阵时，即变为BA|1B25设维向量组线性无关，和均正N121,N21,121,N交，证明线性相关21,证设有一组数使得121,NK1KO则由，得1211,NK，2,0K因与均正交，上式简化为，从而有112,N210K0KO或（1）若时，则必线性相关；121,（2）若时，由可得，即K而110NKK线性无关，由定理8推论3知N1个N维向量和11,N2,线性相关，再由定理4知，可由唯一线性表示，22121,N记2121NLLL任取，由正交性，代入式展开化,IN2,0,1IIN简得即，所以式化简为，20,IL,I,IL21L得线性相关，证毕21,B26（1）设，求021NA00012NNAA的逆矩阵30解设，则有1210000NNAAAA，即121,2,3,NNAENBA，由条件，有可逆，从而01100NNAB021NNB，又，1100NNABE12NNAA所以1121010001NNNAABA（2）设，求21NCBCBAABBCCN32132110100的逆矩阵解1231230000101010NCAECBBA112312300001100NNRBRNINCABCB记，由条件，上式矩阵可进一步化121NNIDABCBC0D简得3111231230001100001NRDNNCCBDBDD1211223223331230101NRCNNNNNCCCBDBCDBCD所以所求逆矩阵为1213111222233331231NNNNNNBCDCCBDBDBCDCCCBDBD,其中12112121NNNNNBCDCDBNCBCBAD21B27如果向量可由向量组线性表示，证明表示法是惟一的R,2充分必要条件是线性无关R,21证必要性因向量可由向量组线性表示，且表示法惟一，则R,21存在惟一一组数，使得12,RKRKK假设线性相关，则存在一组不全为零的数使得R12,RLL,不妨设则有12RLLO10,L21121RRCLL将代入可得的新的线性表示式，这与线性表示式惟一矛盾，故线性无关R,21充分性已知向量可由向量组线性表示，且线性R,21R,21无关，假设向量的线性表示式不惟一，存在两组不同的数与RK使得12,RLL，及12RKK，RLL两式相减得，12RRKLKLKLO32此时由系数不全为零，得线性相关，矛盾，故,12,IKLRR,21向量的线性表示式惟一B28证明任意个维向量必线性相关N证设维向量组，构成矩阵，121,N1N121,NA则矩阵的秩，即向量组的秩小于向量个数，必线性相关AB29证明对于任意实数，向量组,ATA,1,线性相关TA3,21,2T4,32证由向量组构成矩阵43211230,RAAA，42301RA由的秩为2，则向量组的秩为2,小于向量个数3，故对任意实数，向量组必线AA性相关B210设是任意的4维向量，1T0,12T0,413，若可由向量线性表示，则T0,2432,4线性相关431,证由，则向量组123234001,R的秩为2，又由向量的任意性，则向量组秩不超过3，线234,11234,性相关；又由可由向量线性表示，则向量组431,432,的秩不超过向量组的秩，所以向量组的4321,14321,秩不超过3，线性相关B211设均为维向量，试证线性无关的充分N,21N,21必要条件是任一维向量都可由它们线性表示证由维向量组线性无关，则它是维向量空间的一组基，NN,21NR则中的任一维向量都可由它们线性表示RB212设均为维向量，若维线性无关的向量组N,21可由它们线性表示，证明线性无关N,21N,21证由均为维向量，则其秩不超过；又由维线性无关的向N,21量组可由它们线性表示，所以向量组的秩不低于；因,N,21此，的秩为，线性无关N2133B213设可由线性表示，但不能由线性表示，R,21121,R则可由线性表示R,21R证由可由线性表示，则存在一组系数，使得R,2112,RKRKK又由不能由线性表示，故系数；由式得121,R0RK，11RRRKK故可由线性表示R,121RB214设线性无关，任取实数，令M121,MK，试证也MK11MK11M,2线性无关证由条件，构造矩M11MK11阵形式得,12112112300,1MMK简记作，由于矩阵可逆，则与有相同BAC1231001KBA的秩；又线性无关，故，所以线性无M,21RBANM,2关B215设，S321S312，证明与等价21SSS,1S,2证由条件可知，可由线性表示，构成矩阵形式得S,21S212112101,10SS简记作；又由BAC120101110SRR34，所以的秩为，可逆，故有21311001SRCN，从而向量组可由线性表示，因此1ABCS,2S,21与等价S,21S,21习题331求下列齐次线性方程组的通解解对系数矩阵施行行初等变换，021阶梯形矩阵B，02710271行最简形矩阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，0271ZYX即（其中是自由未知量），ZYX271令，得到方程组的一个基础解系1Z,T127,所以，方程组的通解为为任意常数,127,TKK（2）08653443215XX解对系数矩阵施行行初等变换，得210417086537A701421阶梯形矩阵B35701421，1行最简形矩阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，025431X即（其中是自由未知量），025431XX43,X令，得到方程组的一个基础解系34,T,T，0,1,21T0,12所以，方程组的通解为，为任意常数21KTTK,2121,K（3）07423645154XXX解对系数矩阵施行行初等变换，得103124647A10312阶梯形矩阵B，00316517行最简形矩阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，03165754321XX即36（其中是自由未知量），54325167XXX53,X令，得到方程组的一个基础解系TX,531,0T,T，T1,3065,72所以，方程组的通解为，为任意常数21KTTK,1221,K32当取何值时，方程组ZYXX6743有非零解解原方程组等价于,06743ZYX上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式，671431即，07562从而当和时方程组有非零解021333求解下列非齐次线性方程组（1）解对增广矩阵施行行初等变换A，51200121B因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换RA，B001C与原方程组同解的齐次线性方程组为,1243X即（其中为自由未知量），4321X32,X令，得到非齐次方程组的一个解TT0,32，137对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），02431X32,X令，得到对应齐次方程组的一个基础解系T,32,1T，,1T0,2方程组的通解为，01212,1,0TTTKKK其中为任意常数21,K（2）8109572433321321XX解对增广矩阵施行行初等变换A，81095724100391245B因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换RA，B0039158C与原方程组同解的齐次线性方程组为,391315842XX即（其中为自由未知量），4321XX43,X令，得到非齐次方程组的一个解34,0,TT,1对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），4321958XX43,X令，得到对应齐次方程组的一个基础解系34,T,0,T，181T1,0952方程组的通解为,01212,38,305,901TTTKKK其中为任意常数21,K38（3）103211X解对增广矩阵施行行初等变换A1040231132，9605310405因为，所以方程组无解3ARR34讨论下述线性方程组中，取何值时有解、无解、有惟一解并在有解时求出其解313223XX解方程组的系数行列式为21313A（1）当时，即时，方程组有惟一解0且（2）当时，即时，0A1或I当时,原方程组为，123X显然无解II当时，原方程组为1，34612213XX对该方程组的增广矩阵施行行初等变换A，100236143因为，所以方程组有无穷多组解，2RA与原方程组同解的方程组为，132X即（其中为自由未知量），132X3X令，得到非齐次方程组的一个解3039，01,3T对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），132X3X令，得到对应齐次方程组的一个基础解系3，1,T方程组的通解为，其中为任意常数0,301,2TTKKK35写出一个以为通解的齐次线性方程组1240XC解由已知，和是齐次线性方程组1,3T2,401T的基础解系，即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为AXOAXO2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为A，故可设系数矩阵4,121342AA由可知和满足方程组AXO1134,21234,A,12342,01XO即方程组的线性无关的两个解即为,1234X12方程组的系数矩阵,043211该方程组等价于（其中为自由未知量），1342XX43,X令，得到该齐次方程组的一个基础解系34,T,0,T，12,10T故要求的齐次线性方程组为，其中,AXO2103即12340X36设线性方程组40，0211NMMXAXA的解都是的解，试证是向量组BBTNB,21,的线TN,121TN,221,MNMA性组合证把该线性方程组记为（），由已知，方程组（）的解都是的解，所以方程组（）与方程组021NXBXB,121120NMMNAAXXBB同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组和的秩相同，故可由线性表示12,M12,M12,M37试证明的充分必要条件是齐次线性方程组的RABOABX解都是的解OX证必要性因为，只须证与的基础解系相ROABX同与的基础解系都含有个线性无关的解向量又因NR为的解都是得解所以的基础解系也是的BABOABX基础解系即与有完全相同的解所以的解都是OX的解充分性因的解都是的解，而的解都是OABXBXOBX的解，故与有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故，所以NRRRA38证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使1ATBTAAB证充分性若存在列向量及行向量，其中12MA12TNBB不全为零，则有,IJAB1,I1,JN,1212221212NTNMMMNAABABAB显然矩阵的各行元素对应成比例，所以RA必要性若，则经过一系列的初等变换可化为标准形1RA，0D而矩阵可以表示为41，1010,D则存在可逆矩阵，使得，从而PQ1AD，其中均可逆，110,AD1,PQ记，10AP1,0TBQ又因为可逆，则至少有一行元素不全为零，故列向量的分量不全为零，同理，A因为可逆，所以行向量的分量不全为零因此，存在非零列向量及非零行1QTB向量，使TBTAA补充题B31设是矩阵，是非其次线性方程组所对应齐次线AMNAXOAXB性方程组，则下列结论正确的是（D）（A）若仅有零解，则有惟一解；XOB（B）若有非零解，则有无穷多个解；AXOAXB（C）若有无穷多个解，则仅有零解；BO（D）若有无穷多个解，则有非零解B32设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组NT（）；（），TAX必有（D）（A）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解；（B）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；（C）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解；（）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解B33设线性方程组有个未知量，个方程组，且，则此AXBNMRA方程组（A）（）时，有解；（）时，有惟一解；RMR（）时，有惟一解；（）时，有无穷多解NB34讨论取何值时，下述方程组有解，并求解21ZYX解（法一）方程组的系数行列式，21A（1）当时，即时，方程组有惟一解01且42211,2XYZ（2）当时，即时0A或I当时,原方程组为，1XYZ因为，所以方程组有无穷多组解，其通解为RA,01