正定二次型

正定二次型Tag内容描述：<p>1、第二节正定二次型,一、正定二次型的概念,二、正(负)定二次型的判定,一、正(负)定二次型的概念,则称f为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；,则称f为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；,设有实二次型,如果对任何,为正定二次型,为负定二次型,例如,二、正(负)定二次型的判别,推论2对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正,推论3正定二次型的矩阵行列式必大于零.,这个定理称为霍尔维茨。</p><p>2、7 正定二次型,一、惯性定理,二、正定二次型的概念,三、正(负)定二次型的判别,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,为正定二次型,为负定二次型,二、正定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论 对称矩阵 A 为正定的充要条件是： A 的 特征值全为正,定理11(霍尔维茨定理) 对。</p><p>3、第十五次课,掌握用正交变换法化二次型为标准形的方法,了解惯性定理,了解正定二次型、正定矩阵的概念及他们的判别法,教学内容,教学目标及基本要求,6.4 正定二次型,6.3 用初等变换法化二次型为标准形,正交变换化二次型为标准形,重 点,难 点,正交变换化二次型为标准形,2019年7月28日星期日,2,1、二次型的标准形不唯一。,2、,即：,标准形中平方项的项数为,化为标准形：,6.3 用初等变换法化二次型为标准形,2019年7月28日星期日,3,则再作一次满秩变换：,可得二次型的规范形：,negative index of inertia,positive index of inertia,signature,no。</p><p>4、第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 5 6 正定二次型正定二次型 二 正定二次型的判定二 正定二次型的判定 三 负定二次型的概念三 负定二次型的概念 四 小结四 小结 思考题思考题 一 正定二次型的概念一。</p><p>5、惯性定理、主要内容、正定二次型的定义、第七节正定二次型、正定二次型的条件、例如定理、二次型的标准形明显不是唯一的，只是标准形，其中包含的项目数不仅是决定的(即二次型的等级)，在限定性地进行实际变换时， 标准形的正系数的个数是不变的(并且因此负系数的个数也不变)，即，如下所示，在中间数相等的定理9中有实二次型f=xTAx，其秩有两个实可逆变换，x=Cy和x=Pz，f=k1y12 k2y22 kryr。</p><p>6、第三节正定二次型 对二次型f x1 x2 xn 经过满秩变换后可化为规范形 为讨论其性质 在应用中对二次型进行以下分类 定义设f x1 x2 xn x Ax为实二次型 若对于任意非零实向量x x1 x2 xn 都有 f x Ax 0 称f为正定二次型 对。</p><p>7、一 惯性定理 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 显然 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有的项数是确定的 项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变。</p><p>8、6.2 正定二次型,6.2.1. 正定二次型的定义 6.2.2. 正定二次型的判定 6.2.3. n 元实二次型的分类,6.2.1 正定二次型的定义,定义：如果 任一非零实向量 X ，都使 实二次型 f (X) = X TAX 0, 则称 f (X) 为正定二次型.,正定二次型 f (X) 的矩阵 A 称为正定矩阵.,为正定二次型,例如,例 设 A 是正定矩阵，证明：kA ( k 0 )是正定矩。</p><p>9、第二节 正定二次型,一、正定二次型的概念,二、正(负)定二次型的判定,一、正(负)定二次型的概念,则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；,则称f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；,设有实二次型,如果对任何,为正定二次型,为负定二次型,例如,二、正(负)定二次型的判别,推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 特征值全为正,推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.,这个定理称。</p><p>10、1,6 正定二次型,一、惯性定理,二、正定二次型的概念,三、正定二次型的判断法,2,定理十一. (惯性定理),二次型,经可逆变换 X = PY 及 X = CZ , 使,及,正数个数为b, 则,一、惯性定理,3,二、正定二次型的概念,定义12. 二次型,若对任意 X 0,则称 f 为正定的.,若对任意 X 0,则称 f 为负定的.,4, (根据标准形判别),f 的标准形的n个系数全为正。</p><p>11、6.3 正定二次型,一. 正定二次型,二. 正定矩阵的性质,主要内容,二. 化二次型为标准形,正交变换法 配方法,目标：,问题转化为：,一. 标准形,回忆：,此结论用于二次型,所以，,1. 正交变换法,主轴定理：,任给二次型,总有正交变换,使之化为标准形,2. 配方法,三. 惯性定理和规范形（介绍。</p><p>12、一惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所。</p>