导数在解题中的应用.doc

目录摘要.1引言.2一、求曲线的切线方程.4二、导数在探究函数性质中的应用7（一）判断函数的单调性7（二）函数的极值、最值问题9（三）求函数的解析式.11（四）导数在解决实际问题中的应用.12（五）用导数判定函数的凸性及拐点.14三、研究方程根的情况15四、导数在不等式证明中的应用.15五、导数求参数的取值范围16六、导数在数列中的应用17（一）导数在数列求和中的应用18（二）求数列中的最大(小)项18七、导数在求极限中的应用19八、近似计算19结束语.20参考文献.211导数在解题中的应用摘要：导数是近代数学的基础，是联系初高等数学的纽带。导数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。本文通过导数的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用，如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。关键词：导数；函数；单调性；最值；数列TheApplicationofDerivativeinSolvingProblemsAbstract:Derivativearethefoundationofmodernmathematicsislinkedbondsinearlymathematics.Derivativeisaspecialfunction,whichleadstoanddefinitionsofthefunctionrunsthroughideas.Derivativeisoneofthecoreconceptsofcalculus,itisaspecialkindoflimit,reflectingthepaceofchangeinthedegreeoffunction.Derivativeisthemonotonicityofafunction,extremum,thecurvetangentandsomeimportanttoolsforoptimizationproblems,whilethestudyofgeometry,inequalitiesplayanimportantrole.Derivativeconceptisthebasisforfuturestudyofcalculus.Atthesametime,derivativeinphysics,economicsandotherfieldshaveawiderangeofapplications,isanindispensabletoolforscientificresearch.Derivativeisanimportantfoundationforcalculusconceptsofincrementalindependentvariabletendstozero,thedependentvariableandindependentvariableincrementincrementalquotientofthelimit.Presenceinthederivativeofafunction,callthisfunctioncanleadorbedifferential.Beacontinuousdifferentiablefunction.Discontinuousfunctionmustnotbeguided.Derivativeisessentiallyaprocessoflimit,derivativeofthefouralgorithmsfromthelimitsofthefouralgorithms.Inthispaper,wediscusssomeproblemsinmashbythetheoryofthederivative.Thederivativeapplicationisobtainedbyusingexamplesfromsimpleapplicationtocomprehensiveapplication,suchastheapplicationoftheseries,inequalityproof,practicalproblemsandsummationseries.Keywords:derivative；function；monotone；themostvalue；series引言微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，能起到化繁为简的作2用，尤其体现在判定函数相关性质，证明不等式，恒等式及恒等变形，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识,是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用定义：设函数)(xfy在点0x的某个领域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x(点xx0仍在该领域内)时，相应的函数y的增量)()(00xfxxfy；如果y与x之比当0x时的极限存在，则称函数)(xfy在0x处可导，并称这个极限为函数)(xfy在0x处的导数，记为0|xxy，即xxfxxfxyyxxxx)()(limlim|0000(1.1)导数定义的形式比较灵活.对它进行研究，能促进我们对导数的理解，帮助我们迅速、正确地解题，导数的定义式也可以有不同的形式，常见的有000)()(lim)(0xxxfxfxfxx(1.2)hxfhxfxfh)()(lim)(0000(1.3)(1.3)式中的h即为自变量的增量x.从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论3述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了流数法和无穷级数，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯4进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西。欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。一、求曲线的切线方程在求过点),(00yxP所作函数xfy对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.)1(当点),(00yxP在曲线上，即点),(00yxP为切点时，则切线方程为000xxxfyy.)2(当点),(00yxP不在曲线上时，则设切点坐标为),(11yx，由1010111xxyyxfxfy先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程.例1.已知曲线axxyl2:2,求过点P1,2的曲线l的切线方程.解：因axxy22，所以22xy，则当2x时，ay，2y.5当1a时，点P1,2在曲线l上，故过点P的曲线l的切线方程为),2(2)1(xy即052yx，当1a时，点P不在l上，设曲线l过点P的切线的切点是),(00yx，则切线方程为)(22(000xxxyy且点P1,在此切线方程上，所以有),2)(22(1000xxy即.3620200xxy又axxy02002则有3622020020xxaxx，即,0)3(4020axx)1(4)3(416aa，当1a时，0，所以120ax；当0xx时，1122122aay，所以切线方程是21121xay即12112xay，当1a时，0，切线不存在.例2.已知抛物线xxyC2:21和抛物线axyC22:，当a取什么值时，1C和2C有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设2211,yxByxA分别是直线l与1C、2C的两个切点.又xxy2:c21，axyc22:的导数分别为：22xy，yx2，所以2122xx，即121xx又1C、2C有且只有一条公切线，则点A与点B重合，21xx，6所以2121xx，即43,21A，有点B在2C上，可知21a，此时:l41xy.例3.已知曲线xxxyC23:23，直线kxyl:，且l与C切与点)0)(,(000xyx，求直线l的方程及切点坐标.解：由l过原点，知)0(00xxyk，点),(00yx在曲线C上，02030023xxxy2302000xxxy又2632xxy263020xxk，又00xyk23263020020xxxx23,0320020xxx（00x不符合题意）83232)23(3)23(230y41238300xyk所以l的方程为xy41，切点为)83,23(.求曲线的切线方程，关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率.7二、导数在探究函数性质中的应用（一）判断函数的单调性假设xfy在点,ba中可导）若对),(ba中所有x而言0xf，则xf在),(ba中递增；）若对),(ba中所有x而言0xf，则xf在),(ba中递减；）若对),(ba中所有x而言0xf，则xf在),(ba中不变.由此可见，只要求出函数的导数，判断其正负性，则能判断函数的单调性.这种方法比传统的“定义法”及“图像法”更方便.例1.求函数xxay12在1,0x上的单调性)(Ra解：令xt，即求tattf12，1,0t上的单调性当0a时，tf在1,0t上为增函数；当0a时,因312)(tatf，则由0)(xf，得0123ta则可以判断，当)1,0(t3a时，0xf，说明tf在)1,0(t3a上为增函数；当),1(t3a时，0xf，tf在),1(3a上为减函数.接下来，要比较31a和1的大小,8当01a时113a，则tf在1,0t上为增函数，此时121aftf，当1a时，113a，则tf在)1,0(t3a上为增函数；在),1(t3a上为减函数.该题用导数来解，淡化了技巧，突出了通法，充分显示了该解法的新颖别致和通俗易懂.例2.已知函数xf1tan22xx，3,1x,其中)2,2(，求的取值范围，使xf在3,1区间上是单调函数.解：tan22)(xxf，它在3,1上是单调函数，tan22minxf，tan232maxxf，当0tan22，即)2,4时，0xf，xf为单调递增函数；当0tan232，即3,2(时，0xf，故xf为单调递减函数；综上所述，当)2,43,2(时，xf在区间3,1上是单调函数.（二）函数的极值、最值问题求可导函数)(xf的极值的一般步骤和方法是：