弹塑性力学.ppt

1、哈工大 土木工程学院,1 / 72,土木工程学院 工程力学学科组,HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY,弹塑性力学,哈工大 土木工程学院,2 / 72,第1节 初始屈服条件,物体受到荷载作用后，随着荷载增大，物体内的质点由弹性状态进入到塑性状态的这种过渡，叫做屈服。,单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示？,（关心:在应力状态下材料何时开始进入塑性）,哈工大 土木工程学院,3 / 72,问题：如何建立一个统一的函数表达屈服条件？,单向拉压时初始弹性状态的界限是拉压屈服极限s。复杂应

2、力状态下材料初始弹性状态界限称初始屈服条件。,一般情况下，屈服条件与应力、应变、时间、温度等有关，而且是它们的函数，这个函数称为屈服函数。,在不考虑时间效应(如应变率)和温度的条件下：,考虑屈服前应力和应变的对应关系，可进一步简化为：,哈工大 土木工程学院,4 / 72,当应力点位于曲面内F(ij) 0时，材料处于弹性状态；当应力点位于曲面上F(ij)=0时，材料进入塑性状态。形成一个区分弹性和塑性的屈服面。,屈服条件就是在外荷载作用下，物体内某点开始产生塑性变形时应力所应该满足的条件，函数的表达式称屈服函数。,从几何上看，单向拉压时应力空间是一维的屈服函数是两个离散点，即屈服点；复杂应力状态

3、下应力空间是以ij在为坐标轴的六维空间，F(ij)=0是这个空间中的曲面，称屈服曲面。,哈工大 土木工程学院,5 / 72,理想塑性：,应力点处于屈服面内 F(ij) 0 材料处于弹性状态；,应力点位于屈服面上 F(ij) = 0 材料进入塑性，形成一个区分弹性和塑性的屈服面；,F(ij) 0 实际上不可能存在的状态；,硬（软）化塑性：,加载面(ij,h) 0：弹性 加载面(ij,h)0：屈服，屈服为一系列曲面，因而可在某一屈服面外（硬化），亦可在屈服面内（软化）,两种塑性情况描述：,哈工大 土木工程学院,6 / 72,考虑材料初始各向同性，坐标变换对初始屈服条件应该没有影响，故可用主应力和应

4、力不变量表示：,对于金属材料因为静水应力不影响屈服，故屈服条件也可用应力偏量表示：,f (1，2，3) = 0 f (I1， I2， I3) = 0,f (s1，s2，s3) = 0 f (I2，I3) = 0,屈服准则（塑性条件）：在不同应力状态下,变形体内某点进入塑性状态并使塑性变形得以继续进行,各应力分量与材料性能之间必须符合一定的关系，这种关系称为屈服准则。,哈工大 土木工程学院,7 / 72,质点屈服部分区域屈服整体屈服,注意:材料进入塑性变形状态并开始发生塑性变形,必须是某一个连通域全部满足塑性条件,某一个点进入塑性条件宏观上不发生塑性变形。,哈工大 土木工程学院,8 / 72,在

5、主应力空间中讨论屈服函数所对应的曲面,建立由为坐标轴轴向的直角坐标系Oe1e2e3，称之为主应力空间。,主应力空间中任意一点P（1、2、3）代表物体内一点的应力状态,满足方程f (1，2，3)=0 的点代表主应力空间中的一个曲面，称屈服面。,哈工大 土木工程学院,9 / 72,主应力空间中一点P，将矢量OP分解为应力球张量部分OP （ 与等倾线1=2=3平行 ）和应力偏张量部分OP （位于平面 1+2+3 =0内）,屈服与否与球张量无关，就是说与OP长度无关，只与偏张量有关。 当P达到屈服时，L 上任一点都屈服，说明屈服面是个柱面，母线L 与L平行且垂直于 平面。,屈服曲面与平面的交线称为屈服

6、线C。,一个应力状态是否会进入屈服只取决于它平面上的投影,哈工大 土木工程学院,10 / 72,由屈服表面可知：,屈服表面的几何意义： 若主应力空间中的一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，则该点处于塑性状态；若位于屈服表面内部，则该点处于弹性状态。,同一母线上应力偏数量都相等；,与母线相垂直斜截面上的应力球张量相等。,哈工大 土木工程学院,11 / 72,屈服曲线具有性质：,自原点发出的任一射线必与C 相交且只交一次。（射线代表比例加载，相交一次表示只存在一个初始屈服极限） 由于各向同性假设知屈服曲线关于e1 e2 e3对称； 当初始拉压屈服极限大小相等时，C 关于e1 e2 e3三轴的垂线也

7、对称； 由Drucker公设(1951年Drucker提出了Drucker公设，认为对一类稳定材料，附加应力在应力循环上所作的功总是非负的.)，屈服曲线C必是外凸的（任意两个屈服点的连线应在屈服面内）。,哈工大 土木工程学院,12 / 72,记1 2 3为1 2 3在平面上投影。,从等倾线看原点，在 平面上出现了正的主轴，彼此夹角120，它们是主应力空间三个主轴在平面上的投影。,主应力空间坐标系Oe1e2e3 在平面上的投影坐标系为Oe1e2e3,ei与ei的夹角余弦,两套坐标系变换,考察平面上几何关系,哈工大 土木工程学院,13 / 72,在主应力空间截取一等倾面S/平面，则其法向方向余弦：

8、,主应力在等倾面上的投影分别为：,哈工大 土木工程学院,14 / 72,在平面上取直角坐标系（x,y）则平面上一点坐标S(x,y)：,哈工大 土木工程学院,15 / 72,在平面上取极坐标系（r, ）则平面上一点坐标S(r ,)：,三种特殊情况：,单向拉伸： 1 30,纯 剪 切： 0 0,单向压缩： 1 30,哈工大 土木工程学院,16 / 72,由此可见r ,表述了一点应力状态偏张量的主要特征。以L为z轴的柱坐标系中一点的（r , ，z ）坐标物理意义： r 正比于等效应力； 标志着中间应力的影响； z 代表静水应力的大小。,哈工大 土木工程学院,17 / 72,偏应力由平面坐标表示,哈工

9、大 土木工程学院,18 / 72,第2节 两种常用的屈服条件,一、Tresca 屈服条件,1864年Tresca根据Coulomb对土力学的研究和他自己对金属挤压试验中得到的结果，提出以下假设：,当最大剪应力达到一定数值时材料就开始屈服,当1 2 3 时,之后不久，St. Venant给出了这一条件在平面应力情况下的数学公式。,哈工大 土木工程学院,19 / 72,金属简单拉伸时表面能观察到的滑移线与轴线成45角，以及静水压力不影响屈服的事实与Tresca假设相符，因此受到广范支持。,在几何上，当 1 2 3 时,在30 30范围内表示一条平行于y 轴（即2 轴）的直线。将其对称拓开，就可得到

10、平面上一个正六边形。,哈工大 土木工程学院,20 / 72,当不规定应力顺序时,等式中只要有一个等式成立（对应于六边形一个边）或两个等式同时成立（对应六边形一个顶点），材料就屈服。三个等式不能同时成立，否则三式相加等于零，与k0矛盾。,哈工大 土木工程学院,21 / 72,在主应力空间等式给出一个正六边形柱面，母线平行于L，这就是Tresca条件对应的屈服曲面。,哈工大 土木工程学院,22 / 72,如果是在平面应力状态，必有一主应力为零（如设3=0），则等式变成：,在平面给出的屈服轨迹呈斜六边形（相当于正六边形柱面被3=0 平面斜截所得图形）：,哈工大 土木工程学院,23 / 72,在主应力

11、方向和大小顺序已知时，Tresca屈服条件表达式简单，且是线性的，故便于应用。 当主应力方向已知但大小未知时，不失一般性，将Tresca屈服条件表达式写成：,也可展开用应力偏张量的不变量形式表示：,即使主应力未知，I2，I3也可根据应力分量求出，所以上式原则上适用于主应力未知的情况。可惜上式太复杂，很难有实用价值。,哈工大 土木工程学院,24 / 72,综上所述，Tresca屈服条件一般仅适用于主应力方向已知的情形；即使主应力方向未知，常可以通过试探的方法确定应力点落在屈服六角柱面的哪个侧面或哪个棱边上，而一旦确定，Tresca屈服条件表达式就是线性的了。,材料常数k 值可由简单试验确定。,单

12、向拉伸屈服时； 1 = s 2 = 3 = 0,1 3 = s = 2k k = s /2,纯 剪 切 屈服 时； 1 = s 2 = 0 3 = s,1 3 = 2s = 2k k = s,所以采用就意味着对Tresca屈服条件材料应满足： s= 2s,哈工大 土木工程学院,25 / 72,物理意义：材料处于塑性状态时，其最大剪应力是一不变的定值。该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。,哈工大 土木工程学院,26 / 72,二、Mises 屈服条件,Tresca屈服条件在主应力方向已知时表达式简单线性而得到广泛应用。但在主应力方向未知时，表达式过于复杂，不便应用。,另外，T

13、resca屈服条件在主应力方向和大小都已知时未体现中间应力对材料屈服的影响，显得不尽合理，且屈服线上的角点给数学处理上带来困难。,1913年，Von Mises建议用 I2=C 来拟合实验点(其中C 是材料常数，由试验确定)。Mises屈服条件认为当应力偏张量的第二不变量I2 达到某值时，材料开始屈服。,哈工大 土木工程学院,27 / 72,从几何上，由应力点在平面的投影：,说明 Mises屈服条件在平面上是个圆,在主应力空间中是母线平行于L直线的圆柱面。,哈工大 土木工程学院,28 / 72,在实验力学中，为了使用方便起见，定义有效应力：,因而 Mises屈服条件可用更方便的有效应力表示：,

14、所以,单向拉伸屈服时； I2 = s2/3=C C = s2/3,纯 剪 切 屈服 时； I2 = s2 = C C = s2,所以采用Mises屈服条件就意味着材料应满足：,哈工大 土木工程学院,29 / 72,Mises屈服条件可表示：,or,在平面应力状态（3=0),Mises 圆变成椭圆。,哈工大 土木工程学院,30 / 72,物理意义:材料处于塑性状态时,其等效应力是一不变的定值，该定值只取决于材料在塑性变形时的性质,而与应力状态无关。,哈工大 土木工程学院,31 / 72,Mises 屈服条件当初是作为一种数学表达式简单而提出的，后来相继一些力学工作者对它予以物理解释，公认的有以下

15、几个说法：,（1）Hencky(1924年)提出， Mises屈服条件体现了用物体形状改变的弹性能来衡量屈服的能量准则。,Hencky认为， Mises屈服方程相当于弹性畸变能等于常数的情形。由于静水压力不能使材料进入塑性，所以，当变形能达到某一极限时材料屈服。,弹性体的变形能We可分解为体积改变能WeV和形状改变(畸变)能We ：,哈工大 土木工程学院,32 / 72,弹性体的变形能We,体积改变能WeV：,哈工大 土木工程学院,33 / 72,形状改变能We ：,(对简单拉伸 I2=s2/3),Hencky认为，当变形能达到某一极限时材料屈服。 这与Mises屈服条件相当。,哈工大 土木工

16、程学院,34 / 72,（2）Nadai(1933年)对Mises方程作了另一解释，他认为当正八面体面上的剪应力达到一定数值时，材料就屈服了。,此后，伊留申认为当应力强度（等效应力）等于单向拉伸的屈服条件时，材料便进入塑性状态。 伊留申把复杂的应力状态的应力强度与单向拉伸的屈服极限联系起来，对于建立弹塑性变形理论具有重要意义。,适用于单晶体材料,哈工大 土木工程学院,35 / 72,（3）Ros 和Eichinger(1930年)提出，在主应力空间内取一点做任意平面，这些任取平面上的剪应力的均方值：,意味着当 时屈服。,适用于多晶体材料,哈工大 土木工程学院,36 / 72,（4）西安交大材料

17、力学教研室指出：三个极值剪应力的均方根为,可以把Mises屈服条件看作是三个极值剪应力的均方根值来衡量屈服与否。,哈工大 土木工程学院,37 / 72,两种屈服条件的比较,1.相同点 （1）都是与应力状态无关； （2）都与静水压力无关； （3）进入塑性状态，都为一固定常数。 2. 不同点 Mises 屈服准则考虑中间主应力的影响 Tresca 屈服准则不考虑中间主应力的影响,哈工大 土木工程学院,38 / 72,中间主应力的影响,由Lode参数,代入Mises表达式,哈工大 土木工程学院,39 / 72,中间主应力影响系数,Trisca屈服条件：,Mises 屈服条件：,可见，当 1 = 2

18、或 2 = 3 （即1） 时，两个屈服准则相等； 当2 = (1 3)/2（平面应变）时两屈服条件相差最大。,中间主应力影响系数其变化范为：,哈工大 土木工程学院,40 / 72,如果规定在简单拉伸时Tesca屈服条件和Mises屈服条件重合,Mises圆,内接Tresca六边形,则在平面上Tesca六边形内接于Mises圆。,Mises圆,外切Tresca六边形,如果规定在纯剪切时Tesca屈服条件和Mises屈服条件重合,则在平面上Tesca六边形外切于Mises圆,哈工大 土木工程学院,41 / 72,Tesca六边形内接于Mises圆时,Mises 屈服条件：,Tesca屈服条件：,T

19、esca六边形外切于Mises圆时,Mises 屈服条件：,Tesca屈服条件：,也就是说无论内接还是外切，两个屈服条件相差不超过15.5%,实践证明 Mises屈服条件比Tesca屈服条件更接近于实验结果。,哈工大 土木工程学院,42 / 72,屈服轨迹的比较 （1）两个屈服轨迹有六个交点，说明在这六个点上，两个屈服准则是一致的。 （2）两个轨迹不相交的部分，Mises椭圆上的点均在Tresca六边形之外，这表明按Mises屈服准则需要较大的应力才能使材料屈服。 （3）两个屈服轨迹差别最大的有六个点。,哈工大 土木工程学院,43 / 72,从屈服轨迹考察看出：,接触点两个屈服准则相同，即两个

20、主应力相等时；,两个屈服准则相差数大的点为一个主应力等于另外两个主应力和的一半。,应力状态是否处于塑性状态；,哈工大 土木工程学院,44 / 72,一、Lode实验 1926年，Lode 进行了薄壁圆筒受拉力T 和内水压 p 共同作用的实验。取圆筒的平均半径为R，厚度为t，,第3节 屈服条件的实验验证,环向应力：,轴向应力：,径向应力：,哈工大 土木工程学院,45 / 72,若 则,Lode参数：,T=0 时，1 相当于单向（环向）拉伸；,当减去不影响屈服的静水应力时在（r,）面内为纯剪切（z=0）。,T=R2p 时，0 相当于纯剪切；,0 P R2p时，-1 0，-30 0范围内任意应力状态

21、。,哈工大 土木工程学院,46 / 72,Lode首先采用这一实验方法来印证公式。,代入Mises屈服条件,化简,用铁、铜、镍实验，结果与公式吻合较好,哈工大 土木工程学院,47 / 72,二、Taylor和Quinneyz实验 1931年在薄壁圆筒受拉力T 和扭转M 联合作用下进行了实验。,所以，主应力：,哈工大 土木工程学院,48 / 72,Lode参数：,可绘制T与M/R的关系曲线，当P0时，可得到,-1 0， -30 0范围内任意应力状态。,哈工大 土木工程学院,49 / 72,代入Mises屈服条件,用铁、铜、镍实验，结果与公式吻合较好,代入Tresca屈服条件,实验表明，多数金属材

22、料屈服状态接近M条件，在应用上主应力已知时，用T条件方便；主应力方向未知时，用M条件方便。两条件相对误差不大，所以，实际问题中两者都在用。,哈工大 土木工程学院,50 / 72,对理想弹塑性材料，初始屈服曲面是固定不变的，应力 状态点不可能落在曲面外；另初始屈服曲面是初始弹性状态的边界，因此材料一直保持弹性应力应变关系，屈服条件可以写成：,第4节 后继屈服条件,对强化材料，随加载，屈服极限会不断提高，即材料发生塑性变形后，其后继弹性范围的边界是变化的，其边界称后继屈服条件，也叫加载条件，几何上称后继屈服曲面或家载曲面。,后继屈服条件与初始屈服条件不同，它不仅与瞬时应力状态有关，还与材料塑性变形

23、历史有关。,哈工大 土木工程学院,51 / 72,用f(ij)=0 表示初始屈服面；用 = 0 表示后继屈服面,对理想弹塑性材料：f = ,对强化材料： (ij,h)=0,h 是内变量，记录加载历史的参数。随塑性变形的发展，后继屈服面或加载面也随之改变。,哈工大 土木工程学院,52 / 72,单轴拉伸下的强化 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化 新的屈服极限： (s)new = Max history 后继屈服条件（也称加载条件） (s)new 处于屈服状态 (s)new， 处于卸载状态 Max history 随塑性变形历史单调增长 Max history (p) 后继屈服条件即加载

24、条件也可表示为 (p)0,哈工大 土木工程学院,53 / 72,哈工大 土木工程学院,54 / 72,复杂应力状态 使用一组内变量（=1，2，n）描述塑性变形历史， 后继屈服条件 f (ij，)=0 随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。,定义内变量应该根据材料内部细微结构不可逆的改变， 通常根据宏观实验结果，引用宏观变量定义内变量,哈工大 土木工程学院,55 / 72,累积塑性应变与等效应变的不同,将整个加载过程看作是许许多多的应力增量过程d所组成。 将每一个应力增量过程中所产生的塑性应变增量 计算出 然后累加起来，即计算积分 等效塑性应变 只有在塑性应变增量各分量之间的

25、比例在整个加载过程中始终保持不变时，两者才能相等,哈工大 土木工程学院,56 / 72,当应力状态ij处在加载面上 f (ij，) = 0， 再施加增量dij，产生三种情况： （1）加载：dij指向加载面外 （2）中性变载：dij沿着加载面 （3）卸载：dij指向加载面内,应力状态与屈服面的关系,哈工大 土木工程学院,57 / 72,增量后 f (ij+dij，+d) = 0,任何一种应力状态都不能位于加载面之外,增量前 f (ij，) = 0，,一致性条件：,哈工大 土木工程学院,58 / 72,随加载过程，内变量不断地增加 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变 总之：内变量只会增加，不会减

26、少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 是塑性变形的不可逆性所决定的。,内变量的性质,哈工大 土木工程学院,59 / 72,用f(ij)=0 表示初始屈服面；用 = 0 表示后继屈服面,对理想弹塑性材料：f = ,对强化材料： (ij,h)=0,h 是内变量，记录加载历史的参数。随塑性变形的发展，后继屈服面或加载面也随之改变。,实验资料表明(ij,h)=0关系复杂，至今很难用一个表达式完善写出，因而理论分析时还需采用某种假设。,等向强化模型 随动强化模型 组合强化模型,哈工大 土木工程学院,60 / 72,等向强化模型,后继屈服函数：,K 是单调递增函数。 进一步解释：等向强化可理解为材

27、料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。,哈工大 土木工程学院,61 / 72,(1) K取为等效塑性应变增量的函数：,函数可根据材料简单拉伸(或纯剪切)试验得到，且取（0）=s,(2) K 取为塑性比功的函数：,函数可根据材料简单拉伸(或纯剪切)试验得到，且取F（0）=s,在复杂应力状态下，K 是有两种取法：,哈工大 土木工程学院,62 / 72,从几何上看，后继屈服函数与初始屈服函数形状相似，加载面中心位置和形状不变。后继屈服函数对加载历史的依赖性只表现在屈服面仅由加载路径中所曾达到的最大应力点所决定。,A,B,路径得出的加载面为A,路径得出的加载面为B,该假定的物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。,哈工大 土木工程学院,63 / 72,Mises初始屈服条件,函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定,加载（后继屈服）条件,如果采取Mises屈服条件，后继屈服函数：,哈工大 土木工程学院,64 / 72,单轴下的随动强化 某一个方向上的屈服极限提高，则相反方向上的屈服极限会降低。 由A点加载到B点，屈服应力由原来的s提高到*。B=*s 再反向加载，当应力达到BC=2s时屈服， 而Cs。,随动强化模型,哈工大 土木工程学院,65 / 72,