甘肃省武威市凉州区武威九中片联考2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题(含解析)

2023—2024学年第一学期期末考试试卷九年级数学一、选择题（每小题3分，30分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．从，，3三个数中随机取一个数作为a，则使抛物线的开口向下的概率是（

）A． B． C． D．3．抛物线与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．4．下列各组条件中，不能判定三角形与三角形相似的是（

）A．， B．，C．， D．5．抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（

）A． B．C． D．6．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．7．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（

）A．120° B．180° C．240° D．300°8．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果，，那么弦AB的长是（

）A． B． C． D．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（）A．5 B． C． D．610．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，24分）11．抛物线的对称轴是直线．12．若点与点关于原点对称，则的值为．13．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是．14．如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是．

15．如图所示，P是等边△ABC内一点，△BCM是由△BAP旋转所得，则∠PBM＝．16．若，则．17．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有个．18．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数是．三、解答题（66分）19．计算与解方程：(1)；(2)．20．已知关于x的方程．(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．21．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点坐标分别为，，．(1)画出关于x轴对称的，点A，B，C的对称点分别是点，，，直接写出点的坐标：____________；(2)画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并求出所扫过的面积是_____．22．中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，是具有里程碑意义的大会，必将对中国和世界产生深远影响，某校积极组织学生学习二十大相关会议精神，并组织了二十大知识问答赛，将比赛结果分为A，B，C，D四个等级，根据如下不完整的统计图解答下列问题：(1)求该校参加知识问答赛的学生人数；(2)现准备从结果为A级的4人（两男两女）中随机抽取两名同学参加二十大宜讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生参加宣讲活动的概率．23．2023年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买《长津湖》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只花费了1200元．(1)求每张电影票的原定零售票价；(2)为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．(1)求证：；(2)若，△EFC的面积为20，求△ABC的面积．25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．26．某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是___________；(2)变式探究：如图2，中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；(3)问题解决；如图3，正方形的边长为10，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．若设正方形的面积为，．求与的函数关系式．27．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线经过，两点，求直线的函数表达式；(3)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标；(4)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．

参考答案与解析

1．B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．2．C【分析】本题主要考查了概率公式和二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．根据二次函数开口方向向下时，再根据概率计算公式计算即可；【详解】∵抛物线开口向下，∴，∴在，，3中符合条件的是，，有2种情况，∴使抛物线的开口向下的概率是．故选C．3．A【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得到对应的方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出a的取值范围即可，注意二次函数的二次项系数不能为0．【详解】解：由题意，得：且，∴且；故选A．4．B【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断．【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意；B、，，不能判定，本选项符合题意；C、，，能判定，本选项不符合题意；D、，能判定，本选项不符合题意；故选：B．5．B【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】解：抛物线y=－2x2的顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（－1，－3），∴平移后的抛物线的解析式为y=－2（x+1）2－3．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用顶点的变化确定函数解析式．6．B【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向上的二次函数，离对称轴越远，函数值越大，只需要比较出A、B、C三点离对称轴距离的大小即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为，，∴二次函数开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越远，函数值越大，∵，，为二次函数图象上的三点，，∴．故选：B．7．B【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．故选B．考点：圆锥的计算8．C【分析】先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：，PB为的切线，，，为等边三角形，．故选C．【点睛】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．9．C【详解】解：如图，连接CD，∵∠C=90°，D为AB的中点，∴CD=DA=DB．而CD=CB，∴CD=CB=DB，即△CDB为等边三角形．∴∠B=60°．∵AB=10，∴．故选C．10．B【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=•x•x=；当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=•（4﹣x）•x=，故选B．11．【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可．【详解】解：抛物线的对称轴是直线；故答案为：．12．【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，即可得出答案．【详解】解：点与点关于原点对称，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题的关键．13．且【分析】根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．【详解】∵关于的一元二次方程有实数解，∴，解得：且，故答案为：且【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．14．##【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法，勾股定理．根据已知得出是解题关键．设、、与的切点分别为、、，证得四边形是正方形，然后根据切线长定理可得：，由此可求出半径的长，然后利用图中阴影部分的面积代数求解即可．【详解】解：如图所示，设、、与的切点分别为、、

在，，，，∴，四边形中，，，四边形是正方形，由切线长定理，得：，，，，∴．∴图中阴影部分的面积．故答案为：．15．60°【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质即可求得答案.【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BCM是由△BAP旋转所得，∴旋转中心是点B，旋转角为∠ABC=60°，∴∠PBM=∠ABC=60°.故答案为60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和旋转的性质，难度不大，掌握相关性质是解题的关键.16．4【分析】直接开平方求出的值，即可得到的值，舍去负数解即可．【详解】解：，∴或者，∴，或者，∵，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，解题的关键是注意，舍去负数解．17．20【分析】设白球个数为x个，由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可．【详解】结：设白球个数为x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.2，∴，解得：，经检验是原方程的根，故白球的个数为20个．故答案为20．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．18．①②④⑤【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据抛物线开口方向、对称轴、与轴交点可判断①；根据抛物线与轴交点个数可判断②；根据与关于对称轴对称，且时，可判断③；根据时，，且对称轴为可判断④；由抛物线在时有最大值，可判断⑤．【详解】解：①由抛物线图象得：；，，即，，选项①正确；②抛物线图象与轴有两个交点，△，即，选项②正确；③抛物线对称轴为，且时，，当时，，即，选项③错误；④抛物线对称轴，即，，由图象可知，当时，，故，选项④正确；⑤由图象可知，当时取得最大值，，，即，，选项⑤正确；故正确的有：①②④⑤，故答案为：①②④⑤．19．(1)(2)，【分析】（1）首先计算算术平方根，负整数指数幂和零指数幂，绝对值，然后计算加减；（2）利用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）；（2）或解得，．【点睛】此题考查了算术平方根，负整数指数幂和零指数幂，绝对值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．20．（1）；（2）证明见解析【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程，得：，解得：m=．（2）∵，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键.21．(1)图见解析，(2)图见解析，【分析】本题考查作图旋转变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意．（1）利用轴对称的性质，分别作出、、关于轴对称点、、，顺次连接即可；（2）利用旋转的性质，分别作出、、的对应点、、，顺次连接，求得的长，利用扇形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示，，故答案为：；（2）解：如图所示；，∴所扫过的面积是．故答案为：．22．(1)40(2)【分析】本题考查了统计和随机抽样的概率；根据题意求出总人数、正确画出树状图并按照公式求解是解题的关键．（1）根据A在频数统计图数据除以扇形统计图中的数据即可；（2）画树状图，求出所有可能和符合条件数，根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：总人数为：（人）；（2）画树状图如下：从两男两女中随机抽取两名同学共有种可能，恰好抽到一名男生和一名女生有种可能，恰好抽到一名男生和一名女生的概率为：．23．(1)每张门票的原定票价为40元(2)原定票价平均每次的降价率为【分析】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行检验．（1）设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只花费了1200元，列出方程，解方程即可；（2）设原定票价平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意．答：每张门票的原定票价为40元．（2）解：设原定票价平均每次的降价率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：原定票价平均每次的降价率为．24．(1)见解析(2)【分析】(1)由平行线的性质得出，，即可证得结论；(2)由平行线的性质得出，易证△EFC∽△BAC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．【详解】（1）证明：，，（2）解：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明，得出，即可得出直线与相切；（2）设半径为r，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，根据勾股定理得出，求出结果即可．【详解】（1）证明：连接，如图所示：∵为切线，∴，又∵，∴，，，∴，在与中；∵，∴，∴，∴直线与相切．（2）解：设半径为r，在中，，即，解得；，，在中，，，解得：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法．26．(1)(2)，见解析(3)，【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系；（2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用