3分布及推测统计学

基础统计学分布及其应用常态分布及其应用波松分布及其应用指数分布及其应用统计推定和假设检定点推定区间推定假设检定目录常态分布1、它是一种描述变异的机率数学模型，有了它，人们可掌握变异变化的各种情形，并可以进一步加以控制和利用2、数学模式：

式中，µ和σ为母数(parameter),其中µ为该分布的平均数，即母群体的平均数。σ为该母群体的标准差，X为自变数Aphase-01-33.性质：(1).

连续型资料(2).众数(Mode)=平均数(Mean)=中位数(Median)(3).平均数两边的面积各占50%(4).两边的斜率相同(5).曲线永远都不跟X轴相交Aphase-01-44.常态分布的参数推定Aphase-01-55.常态分布：曲线下的面积(发生的机率)µµ±1σP=0.683P=0.954µ±3σµ±2σP=0.9973Aphase-01-6

Aphase-01-7

Aphase-01-8Aphase-01-9Aphase-01-10CLT告诉我们，由任一母体取样，大小为n之k个样本，观察

的抽样分布会近似常态分布。Aphase-01-11‧‧中央极限定理一般而言，它指的是样本平均数分配。‧‧不论母体分配为何，若样本数增大，则样本平均数分配趋近于常态。1234561234561

2

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61234

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5

61die2die3die4die5die10dieX~任意分布Aphase-01-12常态分布的应用很广泛，在产品的功能比如量测电流、电压的产出，量测孔的尺寸规格大小方面或评估制程能力方面等都可用常态分布去分析。经调查本公司有很多孔的直径均服从均值µ=0.25英寸和标准差σ=0.01英寸的常态分布。若我们孔的规格要求为0.24±0.02英寸。a).孔的直径在规格之外的比例为多少？b).如果调整制程的均值与规格中心值一致,求不良率的比例为多少？常态分布的应用Aphase-01-13u=0.250.240.260.22u=0.240.220.26调整制程均值与规格中心值一致时:Aphase-01-14设D为孔的直径,所以,a).我们需要

b).当制程均值与规格中心值一致时：

这种情况下,通常调整制程均值与规格中心值一致可以减少规格之外的比例。

Aphase-01-15习题某纺织厂，研究一台新材料切割机，测试显示切割尺寸为以设定值为中心的常态分布，其标准差为0.07cm,a)定出少于2%不良品的公差界限是多少？b)若规格为12±0.02cm，则允收百分比为多少？Aphase-01-16

Aphase-01-17

Aphase-01-18若规格为12±0.02cm，则允收百分比为多少？此时平均数为12.0，XL＝11.98，Xu＝12.02p(11.98≤x≤12.02)=p(-0.286≤z≤0.286)

=2*p(0≤z≤0.286)=2×0.1126=0.2252即有22.5%的允收率Aphase-01-19Poisson分布

与二项分布差不多，只是发生的p非常小，且样本大小并不知道，它背后的假设为:有n个独立试验，且n非常大每次试验只关心一个产出每次试验发生的机率是常数每次试验发生一个以上的机率不予计算

可用在每一个标准单位上的缺点数(如照片，机翼，一片玻璃，一片材料)，其定义为：Poisson分布定义:

它为一个间断分布，可用来对在一个标准单位内发生特定事件的机率做出预测，且在每单位平均出现的次数为一常数值λ。Poisson分布及应用Aphase-01-20Aphase-01-21

Aphase-01-22

每月意外数012345频率27128210Aphase-01-23

Aphase-01-24指数分布1、在许多情况下,寿命分布可假设服从指数分布,尤其是这种产品已通过了早夭期而未通过衰老期,在这期间,收集的寿命时间数据就会服从指数分布。2、数学模式：

式中,母数λ是个常数,随着母体不同而有不同的值.Aphase-01-253.可靠性R(t):下图是产品寿命指数分布图,图中曲线以下的总面积代表所有群体发生的总机率,阴影部分代表t时间后的存活机率,即t时刻的可靠性,此部分可用以下公式求出：

Aphase-01-264.失效率h(t)（1）任一母体寿命分布的机率密度函数(pdf),都用f(t)表示，t时刻的失效率h(t)，则用公式表示为：

式中分子代表在某一时间点t失效的比率，分母代表

t时刻的存活的机率Aphase-01-27（2）对于指数分布而言,失效率为：

如果产品失效时间服从指数寿命分布,它的失效率不变,即为母数

,如果一个设备失效率为常数,那么它肯定是指数分布.（3）如果母体寿命服从指数分布，那么它的平均寿命＝1/λ可用下式表示：

因此，指数寿命：MTTF(或MTBF)=Aphase-01-28（4）如果一产品的寿命分布近似于指数分布，则有如下的性质：

寿命分布的pdf:f(t)=寿命分布的cdf:F(t)=1-t时刻的可靠性:R(t)=

失效率:h(t)=λ

平均寿命：

MTTF(或MTBF)=

Aphase-01-29Aphase-01-30若瞬间发生某一事件的速率为一常数

，则发生几率会取决于

和其时间段t，且服从指数分布，此在可靠性工程上称为失效率。例如，若事件设为某一个体的失效，则在一时间段失效速度将会相同。此种分布常用在可靠性和等待理论上。

指数分布的应用Aphase-01-31例：某一区域仓库，有24笔订单到达时间差距(以小时计)资料：171925343535373940404141424244465152525671728093(a)预估并解释母数Aphase-01-32

Aphase-01-33例：工程师对天然气管线上的100个加压器取样，发现平均寿命为5.75年，且失效服从指数分布(a)计算装好后第一年的失效机率，和前三个月的失效机率解：MTBFθ=5.75，故=0.174，f(t)=0.174,t>0F(t=1)=1-=0.16F(t=)=F(t=0.25)=0.04(b)在=5.75年，即在平均寿命前失效的机率：F(t=5.75)=1-=1-=0.632(c)至少运作10年的机率，此为可靠性t=10之机率R(t=10)==0.176(d)画出可靠性图并对比pdfAphase-01-34下图为f(t)和R(t)之图。在R(t)图上可看出运行至少t年的机率，f(t)则是t年瞬间点的机率。R(t)由1.00开始，但f(t)是由

开始。Aphase-01-35例：一个特定引擎零件的寿命服从指数分布,已知失效率为0.03×10-4f/h(每小时有0.03×10-4个失效),求：a)它能使用至10,000小时后的机率b)这个零件的

MTTFc)MTTF的可靠性d)如果要求设计寿命时可靠性至少达到90％,则设计寿命为多少习题Aphase-01-36Aphase-01-37指数分布与Poisson分布之间的关系※Poisson母数

，定义为一单位内事件固定发生率，若该单位为时间，则Poisson能给出在t时间单位中之一个母数

。Poisson机率:P(x,λ)=，x为发生的次数，

，可算出：

当x=0即在t时点以前无事件发生的机率

,也可看成第一个事件发生在t时点或以后，而非发生在t时间以前。=p(在t时点以前没发生)=p(在t时点或以后发生第一个事件)

故

或F(t)=1-，可用来求得指数分布的pdf※若事件个数服从间断Poisson，且其母数为

，则在发生每二个事件间的时间长短，会服从连续的指数分布，母数为

。Aphase-01-38Aphase-01-39统计推定方法传统方法基于样本资讯的推定Bayesian方法基于样本资讯和先前对母数的主观知识母数推定假设检定针对某一母数或多个母体它们的母数之间的关系的一种查证，是基于样本的证据来判断是否为真点推定需要了解母体的母数的值，由一个样本的值作为母数的预估值区间推定需要知道一个区间且它需要以某一程度的信心来证实，此母数会在此区间之中统计推定与假设检定Aphase-01-40点推定Aphase-01-41Aphase-01-42信赖区间ConfidenceIntervals(CI)区间推定Aphase-01-43N(0,1)α/2Aphase-01-44Aphase-01-45Aphase-01-46α/2tα/2Aphase-01-47α/2Aphase-01-48Aphase-01-49假设检定是一种推测的过程，此处首先可对某一母体的母数的值加以假设，或对两个或两个以上的母体间关系加以假设。此种假设，依母体中取样而来的资讯，尔后应测试是否为真。此种猜测的假设称为虚无假设(nullhypothesis)用H0表示，对立假设(alternatehypothesis)用H1表示，并与H0相连使用，当拒绝H0，就等于接收H1当假设建立后，就应由研究的母体中取样，且针对其值计算适当的测试统计量(teststatistic)任何条件推论的过程都可能有两种误差，当某一统计方法被使用后，有四种可能假设检定HypothesisTestingAphase-01-50TestdeclaresH0TrueFalseTrueOKERRORTypeIFalseERRORTypeIIOKH0isinreality当完成一个测试后，可能的结果当使用统计技术时，这种误差的机率，可由测试的统计量背后的机率分布知识，计算出来，更重要的是，这种测试程序，可使用统计知识加以设计，使得能找到发生某一种误差的机率的特定值；第一种误差用α表示，又称为显著水准(levelofsignificance);第二种误差用β表示Aphase-01-51设计实验包括在此分布中设定一个临界区(criticalregion),若实验求得的统计量，落在该区内，则拒绝虚无假设，即接收对立假设，反之，接收虚无假设

执行假设检定步骤