湖北省武汉市湘乡市第四中学高三数学文测试题含解析

湖北省武汉市湘乡市第四中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】Tr+1==（﹣1）rxr，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：Tr+1==（﹣1）rxr，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．2.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为，点数之和大于8的概率记为，点数之和为奇数的概率记为，则

（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略3.设定义在的单调函数，对任意的都有.方程在下列哪个区间内有解（

）A．（0,1）

B．（1,2）

C．（2,3）

D．（3,4）参考答案：B

考点：函数与方程；根的存性问题.4.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B． C． D．3参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．5.在△ABC中，E为边BC上的点，且，F为线段AE的中点，则

(

)A．

B．C．

D．参考答案： D6.设命题：的展开式共有4项；命题：展开式的常数项为24；命题：的展开式中各项的二项式系数之和为16.那么，下列命题中为真命题的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C对于命题，的展开式共有5项，所以命题是假命题；对于命题，展开式的通项为，当时，此时展开式的常数项为所以命题是真命题；对于命题，的展开式中各项的二项式系数之和为，故命题是真命题.故是真命题，故选C.

7.的展开式中，的系数为（

）A．160

B．120

C.100

D．80参考答案：B8.若复数z满足iz＝3＋4i，则复数z的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：A9.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B10.定义在R上的偶函数（其中e为自然对数的底），记，，，则a，b，c的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由函数是偶函数得，当时，所以函数在区间上单调递增，又．故选：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

；参考答案：712.已知函数的零点依次为则从大到小的顺序为_____________________参考答案：13.___________.参考答案：14.已知关于x,y的二元一次不等式组，则3x-y的最大值为__________参考答案：515.已知函数f(x)=，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为

．参考答案：[﹣20，﹣16]【考点】分段函数的应用．【分析】因为y=sinx

（x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可，【解答】解：因为y=sinx

（x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=2（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可，及g（1）=16+a≤0，g（2）=20+a≥0，∴﹣20≤a≤﹣16．故答案为[﹣20，﹣16]【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．16.已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为____________．参考答案：略17.三阶行列式中，5的余子式的值是

．参考答案：﹣12【考点】OU：特征向量的意义．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.参考答案：依题意，以点为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系如图，可得，，，，由为校的中点，得，（1）向量，，故（2）.，.，由点在棱上，设，故，由，得.因此，，即，设为平面的法向量，即,即

不妨令，可得为平面的一个法向量，取平面的法向量，则所以二面角的余获值为

19.设f（x）=（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，，．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有bn≤．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；数列递推式．【分析】（1）利用f（x）为奇函数，且|f（x）|min=，求出a，b，c即可的f（x）的解析表达式（2）先有f（x）的解析表达式，求得an与an+1的关系，在求出bn的通项公式，来证明【解答】解：由f（x）是奇函数，得b=c=0，由|f（x）min|=，得a=2，故f（x）=（2）=，==bn2∴bn=bn﹣12=bn﹣24═，而b1=∴bn=当n=1时，b1=，命题成立，当n≥2时∵2n﹣1=（1+1）n﹣1=1+Cn﹣11+Cn﹣12++Cn﹣1n﹣1≥1+Cn﹣11=n∴＜，即bn≤．20.（本题满分12分）已知的内角、、的对边分别为、、，，且（1）求角；（2）若向量与共线，求、的值．参考答案：解：（1），即，，，解得……5分（2）共线，。由正弦定理，得，①……8分，由余弦定理，得，②联立方程①②，得……12分21.已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的图形单调性；（Ⅱ）（i）函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点转化为：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根．（ii）x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2；不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得：x0=e，于是k=，所以，0＜a＜．（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于令，则t＞1，设，，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所证不等式成立．【点评】本题主要考查了导数研究函数的单调性，