第23课时矩形菱形正方形（版）（完整版）

第一部分夯实基础提分多第五单元四边形

第23课时矩形、菱形、正方形

1．性质基础点1矩形的性质与判定性质字母表示边两组对边分别平行AB//CDAD//①_______BC

基础点巧练妙记性质字母表示两组对边分别相等AB=CD;AD=BC性质字母表示角四个角都是直角∠ABC=∠BCD=∠ABC=∠BCD=90°对角线对角线②__________AC=BD;OA=OB=OC=OD互相平分且相等性质字母表示对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴面积S=③______ab2.判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角都是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形．

练提分必1．下列关于矩形的说法，正确的是(

)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分D

练提分必2．如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为________cm.第2题图2

1．性质基础点2菱形的性质与判定性质字母表示边四边形④_______AB=BC=CD=DA对边平行AB//CD;AD//BC相等性质字母表示角对角相等∠DAB=∠BCD;∠ABC=∠ADC对角线对角线互相垂直且⑤______AC⊥⑥_____；AO=OC,DO=OB对角线平分一组对角AC平分∠DAB与∠BCD;BD平分∠ABC与∠ADC平分BD性质字母表示对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴面积S=⑦______（m、n分别表示两条对角线的长）

2.判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

练提分必3．下列四边形中不一定为菱形的是(

)A.对角线相等的平行四边形B.每条对角线平分一组对角的四边形C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形A

练提分必4．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ACB＝60°，则对角线AC的长为(

)A．12

B．9C．6

D．3第4题图D

练提分必5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长是________．第5题图8

练提分必6．一个平行四边形的一条边长为5，两条对角线的长分别为6和8，则它的面积为________．24

1．性质基础点3正方形的性质与判定性质字母表示边四边形都⑧_____AB=BC=CD=AD对边平行AB//CD;AD//BC相等性质字母表示角四个角都是直角∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°对角线互相⑨_______且相等AC⊥BD,OA=OB=OC=OD平分一组对角AC平分∠DAB与∠BCD;BD平分∠ABC与∠ADC垂直平分性质字母表示对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有4条对称轴面积S=a²（a表示正方形边长）2.判定(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等且互相垂直平分的平行四边形是正方形；(4)四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形．

练提分必7．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(

)A．30

B．34C．36

D．40第7题图B基础点4特殊四边形的关系(掌握)直角相等相等直角基础点5命题命题：判断一件事情的语句，叫做命题．命题分为题设和结论两部分．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．例1如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；

重难点精讲优练类型1矩形的相关证明与计算例1题图【思维教练】要证四边形ABCD是矩形，根据已知条件▱ABCD的性质推出∠F＝∠DAE，由AF是∠BAD的平分线易得∠DAB＝90°，结合矩形的判定方法，从而得证；例1题图证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°，∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；例1题图

(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．例1题图解：如解图，过点B作BH⊥AE于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°，∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6，在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8，例1题解图

例1题解图练习1

(2017咸宁)如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合，若BE＝3，则折痕AE的长为________．练习1题图6【解析】由折叠可知，∠BAE＝∠OAE，∠EOA＝∠B＝90°，∵O是矩形ABCD的对称中心，∴OA＝OC，∴EO是AC的垂直平分线，易证∠ECO＝∠EAO，在三角形ABC中，可利用三角形内角和为180°，求得∠BAE＝30°，练习1题图在直角三角形ABE中，∠B＝90°，∠BAE＝30°，由30°所对的直角边是斜边的一半，可得到AE＝6.

导方法指1．矩形判定的一般思路：

（1）一个内角为90°

（2）对角线相等四边形+有三个内角是直角平行四边形+

练提分必2．应用矩形性质计算的一般思路：(1)根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用勾股定理或解直角三角形求线段的长；(2)又根据矩形对角形相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形；

练提分必(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．类型2菱形的相关证明与计算例2

如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；【思维教练】要证△AGE≌△BGF，根据平行四边形ABCD的性质，结合全等三角形的判定方法AAS即可求证；例2题图证明：在平行四边形ABCD中，AD∥CF，∴∠AEG＝∠BFG，∵AB的垂直平分线交AD于点E，∴AG＝BG，又∵∠AGE＝∠BGF，∴△AGE≌△BGF(AAS)；例2题图(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．【思维教练】要判断四边形AFBE的形状，由(1)易得AE＝BF，AE∥BF，可推出四边形AFBE为平行四边形，结合EF垂直平分AB推出AE＝BE，从而得证．例2题图解：四边形AFBE为菱形．理由：由(1)得AE＝BF，AE∥BF,则四边形AFBE为平行四边形，又∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴四边形AFBE为菱形．例2题图练习2

(2017孝感)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．练习2题图

导方法指菱形判定的一般思路：(1)一组邻边相等(2)对角线互相垂直

四边形+四边相等平行四边形+菱形

导方法指2．菱形的计算：(1)求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相交性质，转化要求的角，直到找到与已知的角存在的关系；

导方法指(2)求长度(线段或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质．若菱形中有一个角为60°，则连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质求线段长；(3)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半求解．类型3正方形的相关证明与计算例2

如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；【思维教练】要证△ABE≌△DCE，根据正方形ABCD和等边△EBC的性质推出AB＝CD，∠ABE＝∠DCE，结合全等三角形的判定方法SAS即可求证；例2题图证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∵△EBC是等边三角形，∴EB＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB＝30°，即∠ABE＝∠DCE＝30°，在△ABE和△DCE中，

AB=BC∠ABE=∠DCE=30°

EB=EC∴△ABE≌DCE(SAS).(2)求∠AED的度数．【思维教练】由已知条件推出△ABE、△CDE、△ADE都是等腰三角形，求得∠EAB＝∠CDE＝75°，根据三角形内角和即可