中考数学复习第四章图形的认识4.2三角形及其全等试卷市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§4.2三角形及其全等中考数学

(北京专用)1/137-年北京中考题组五年中考1.(北京,6,3分)如图,公路AC,BC相互垂直,公路AB中点M与点C被湖隔开,若测得AM长

为1.2km,则M,C两点间距离为

()

A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km答案

D∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,又∵M是AB中点,∴MC=

AB=AM=1.2km.故选D.2/1372.(北京,14,3分)如图,小军、小珠之间距离为2.7m,他们在同一盏路灯下影长分别为

1.8m,1.5m.已知小军、小珠身高分别为1.8m,1.5m,则路灯高为

m.

3/137答案3解析

如图,由题意可知,∠B=∠C=45°,AD⊥BC,∴BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6,∴

AD=3.即路灯高为3m.

4/1373.(北京,17,5分)下面是小东设计“过直线外一点作这条直线平行线”尺规作图过

程.已知:直线l及直线l外一点P.

求作:直线PQ,使得PQ∥l.作法:如图,

5/137①在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA延长线于点B;②在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC延长线

于点Q;③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作直线.依据小东设计尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面证实.证实:∵AB=

,CB=

,∴PQ∥l(

)(填推理依据).6/137解析(1)补全图形,如图所表示:(2)AP;CQ;三角形中位线平行于三角形第三边.7/1374.(北京,19,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC.

8/137证实∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36°,∴∠ABD=∠A,∴AD=BD.∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BC.9/1375.(北京,20,3分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出“从长方形对角线上

任一点作两条分别平行于两邻边直线,则所容两长方形面积相等(如图所表示)”这一推论,他

从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.

(以上材料起源于《古证复原标准》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请依据上图完成这个推论证实过程.证实:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(

+

).易知,S△ADC=S△ABC,

=

,

=

.可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.解析

S△AEF;S△FMC;S△ANF;S△AEF;S△FGC;S△FMC.10/1376.(北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD中点,连

接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN长.

11/137解析(1)证实:在△ABC中,∠ABC=90°,M为AC中点,∴BM=

AC.∵N为CD中点,∴MN=

AD.∵AC=AD,∴BM=MN.(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=30°.由BM=AM,可得∠BMC=2∠BAC=60°.由MN∥AD,可得∠CMN=∠CAD=30°.∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°.∵AC=AD=2,∴BM=MN=1.在Rt△BMN中,BN=

=

.12/137思绪分析

(1)本题要考虑中点作用,中点+直角三角形要想到斜边中线等于斜边二分之一;双中

点要想到中位线定理.(2)由(1)证实∠BMN=90°,再应用勾股定理计算.解题关键

处理本题关键是要明确中点和特殊角作用,同时要把已知条件放在三角形中

来处理.13/1377.(北京,20,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE

=∠BAD.

证实∵AB=AC,AD是BC边上中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.14/1378.(北京,13,5分)如图,点B在线段AD上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.求证:∠A=∠E.

证实∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在△ABC和△EDB中,

∴△ABC≌△EDB.∴∠A=∠E.15/1379.(北京,13,5分)已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.

证实∵DE∥AB,∴∠BAC=∠ADE.在△ABC和△DAE中,

∴△ABC≌△DAE.∴BC=AE.16/13710.(北京,16,5分)已知:如图,点E,A,C在同一直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求证:BC=ED.

证实∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD.在△ABC和△CED中,

∴△ABC≌△CED.∴BC=ED.17/13711.(北京,16,5分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE

=FC.

证实∵BE∥DF,∴∠ABE=∠D,在△ABE和△FDC中,

∴△ABE≌△FDC,∴AE=FC.18/137教师专用题组考点一三角形相关概念与性质1.(河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB垂直平分线上.

在证实该结论时,需添加辅助线,则作法不正确是

()

A.作∠APB平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C19/137答案

B不论作∠APB平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PC⊥AB,

垂足为C,都能够经过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D作法正确.故选B.20/1372.(内蒙古包头,8,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC度数为

()

A.17.5°

B.12.5°

C.12°

D.10°答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=180°-(∠C+∠BAC)=35°,∴∠C=35°.∵∠DAE=90°,

AD=AE,∴∠AED=∠ADE=45°,∴∠EDC=∠AED-∠C=45°-35°=10°.故选D.21/1373.(贵州贵阳,2,3分)如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△ABC

中线,则该线段是

()

A.线段DE

B.线段BE

C.线段EF

D.线段FG答案

B连接三角形一个顶点和它对边中点,所得线段叫做三角形这条边上中线,从图

形中看出,线段DE、EF、FG都不经过△ABC顶点,仅有线段BE经过△ABC顶点B,所以线

段BE是△ABC中线,故选B.22/1374.(湖北黄冈,4,3分)如图,在△ABC中,直线DE是AC垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和

E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为

()

A.50°

B.70°

C.75°

D.80°答案

B因为直线DE是AC垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.23/1375.(河北,15,2分)如图,点I为△ABC内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重

合,则图中阴影部分周长为

()

A.4.5

B.4

C.3

D.2答案

B如图,连接AI,BI,∵点I为△ABC内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∵AC∥IE,∴∠CAI=∠AIE,∴∠EAI=∠AIE,∴AE=EI.同理,BF=FI,∴阴影部分周长=EI+FI+EF=AE+BF+

EF=AB,∵AB=4,∴阴影部分周长为4,故选B.

24/1376.(吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.

若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC度数是

()

A.70°

B.44°

C.34°

D.24°答案

C由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-

∠C=34°,故选C.25/1377.(河北,11,2分)如图是边长为10cm正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种

剪法中,裁剪线长度所标数据(单位:cm)

是

()

26/137答案

A由勾股定理得正方形对角线长是10

,因为10

<15,所以正方形内部每一个点到正方形顶点距离都小于15,故选A.27/1378.(湖北武汉,10,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC一边为边画等腰三角形,使得

它第三个顶点在△ABC其它边上,则能够画出不一样等腰三角形个数最多为

(

)

A.4

B.5

C.6

D.728/137答案

D①如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则△BCD就是等腰三角形;②如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则△ACE就是等腰三角形;③如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则△BCM、△BCF是等腰三角

形;④如图4,作AC垂直平分线交AB于点H,则△ACH就是等腰三角形;⑤如图5,作AB垂直平分线交AC于点G,则△AGB就是等腰三角形;⑥如图6,作BC垂直平分线交AB于I,则△BCI就是等腰三角形.故选D.

29/137

30/1379.(天津,11,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC两条中线,P是AD上一个动

点,则以下线段长等于BP+EP最小值是

()

A.BC

B.CE

C.AD

D.AC31/137答案

B如图,连接PC,∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴PB=PC,∴PB+PE=PC+PE,∵PE+PC

≥CE,∴当P、C、E三点共线时,PB+PE值最小,最小值为CE,故选B.

思绪分析

先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE值最小,最小值为CE.32/13710.(河北,16,2分)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且

△PMN为等边三角形,则满足上述条件△PMN有

()

A.1个

B.2个

C.3个

D.3个以上33/137答案

D如图所表示,过点P分别作OA,OB垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则△PCD为等边三

角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60°,则△PMN为等边三角形,因为满足CM=DNM,N有没有数个,所以满足题意三角形

有没有数个.

34/137思绪分析

要寻找等边三角形,能够利用圆规得到等腰三角形,依据有一个角为60°等腰三

角形为等边三角形就能够判定其为等边三角形.解题关键

处理本题关键是要选择恰当判断等边三角形方法,另外,本题还能够借助对称

性发觉等边三角形一定有没有数多个.35/13711.(湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC

为等腰三角形,则满足条件点C个数是

()A.5

B.6

C.7

D.8答案

A如图,①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除

外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB长

为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB垂直平分线,与坐标轴有

两个交点,均符合题意.所以满足条件点C有5个,故选A.

36/13712.(河北,10,3分)如图,已知钝角△ABC,依以下步骤尺规作图,并保留作图痕迹.

步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.以下叙述正确是

()A.BH垂直平分线段AD

B.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AH

D.AB=AD37/137答案

A由作图可知点B、C到线段AD两个端点距离分别相等,∴点B、C都在线段AD

垂直平分线上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.38/13713.(安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部一个动点,且满

足∠PAB=∠PBC.则线段CP长最小值为

()

A.

B.2

C.

D.

答案

B∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.设AB中

点为O,则P在以AB为直径圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,∵OB=

AB=3,BC=4,∴OC=

=5,又OP=

AB=3,∴线段CP长最小值为5-3=2,故选B.39/13714.(四川绵阳,5,3分)如图,在△ABC中,∠B、∠C平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,

∠A=60°,则∠BFC=

()

A.118°

B.119°

C.120°

D.121°答案

C在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠FBC=

∠ABC=21°,∠FCB=

∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.故选C.评析

本题主要考查三角形内角和定理,角平分线概念,属轻易题.40/13715.(河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB中

点,对于以下各值:

①线段MN长;②△PAB周长;③△PMN面积;④直线MN,AB之间距离;⑤∠APB大小.其中会随点P移动而改变是

()41/137A.②③

B.②⑤C.①③④

D.④⑤答案

B∵点M,N分别为PA,PB中点,∴不论点P怎样移动,总有MN=

AB,直线l与直线MN距离及直线MN,AB之间距离不变,所以①③④中值不变.伴随点P移动,点P与点A,B

距离及∠APB大小发生改变,故选B.42/13716.(广西南宁,7,3分)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C度数为

()

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°答案

A∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∵AD=DC,∴∠C=∠DAC.∵∠ADB是△ADC外角,

∴∠C=

∠ADB=35°.故选A.43/13717.(江苏连云港,6,3分)如图,若△ABC和△DEF面积分别为S1、S2,则

()

A.S1=

S2

B.S1=

S2

C.S1=S2

D.S1=

S2

44/137答案

C过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥EF交FE延长线于点N,S1=

BC·AM=

×8×5sin40°,S2=

EF·DN=

×5×8sin40°,所以S1=S2,故选C.

45/13718.(四川成都,11,4分)等腰三角形一个底角为50°,则它顶角度数为

.答案80°解析∵等腰三角形两底角相等,∴180°-50°×2=80°,∴顶角为80°.19.(云南,6,3分)在△ABC中,AB=

,AC=5,若BC边上高等于3,则BC边长为

.答案1或946/137解析分两种情况讨论:①BC边上高在△ABC内时,如图,过A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∵AB=

,AD=3,∴BD=

=5.在Rt△ACD中,∵AC=5,AD=3,∴CD=

=4.∴BC=BD+CD=9.

②BC边上高位于△ABC外时,如图,同①可求得BD=5,CD=4,∴BC=1.

综上,BC长为1或9.思绪分析

依据题意画图,要考虑全方面,利用勾股定了解直角三角形即可.易错警示

本题轻易只考虑BC边上高在△ABC内情况而造成漏解.47/13720.(天津,17,3分)如图,在边长为4等边△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,EF⊥AC于点F,

G为EF中点,连接DG,则DG长为

.

答案

48/137解析连接DE,在等边△ABC中,

∵D、E分别是AB、BC中点,∴DE∥AC,DE=EC=

AC=2.∴∠DEB=∠C=60°.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠FEC=30°,EF=

.∴∠DEG=180°-60°-30°=90°.∵G是EF中点,∴EG=

.∴在Rt△DEG中,DG=

=

=

.49/137思绪分析

连接DE,依据题意可得DE∥AC,又EF⊥AC,可得到∠FEC度数,判断出△DEG是

直角三角形,再依据勾股定理即可求解DG长.疑难突破

本题主要依据等边三角形性质,勾股定理以及三角形中位线性质定理求线段

DG长,DG与图中线段无直接关系,所以应依据条件连接DE,结构直角三角形,利用勾股

定理求出DG长.50/13721.(湖北武汉,16,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB中点,E是边BC上一

点.若DE平分△ABC周长,则DE长是

.

51/137答案

解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,∵D是AB中点,∴AD=DB.∵DE平分△ABC周长,

∴AC+CE+AD=DB+BE,∴AC+CE=BE,∴BE=CF+CE=EF,∴DE是△ABF中位线,∴DE∥AF,

∵∠ACB=60°,∴∠ACF=120°,又AC=CF=1,∴∠FAC=∠AFC=30°,作CH⊥AF,则AH=

AC,所以AF=

AC=

,∴DE=

AF=

.

52/137思绪分析

延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证实DE为△ABF中位线,由已知条件求

得AF长,从而求得DE长.解题技巧

对于求线段长度问题,若条件包括三角形边中点,能够考虑利用中位线性质来

解答.53/13722.(辽宁沈阳,16,3分)如图,△ABC是等边三角形,AB=

,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH,当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=

.

答案

54/137解析延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE,

∵∠BHD=60°,∴△BHE是等边三角形,∴BH=BE=HE,∠BEH=60°,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∴∠ABH=∠CBE,∴△ABH≌△CBE,∴∠BEC=

∠BHA=120°,∴∠HEC=60°,∵CH⊥AD,∴∠CHE=90°,设BH=x(x>0),则HE=x,CH=

x,过点B作BG⊥HE于G,则BG=

x,EG=

,∠BGD=∠CHD=90°,又∵∠BDG=∠CDH,∴△BDG∽△CDH,∴

=

=

=

,∵BC=

,∴CD=

,又DH=

GH=

×

HE=

,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即

+(

x)2=

,解得x=1,55/137∴DH=

.疑难突破

这类题型中,可依据等边三角形、60°这些条件,经过补全小等边三角形,结构全等

三角形,从而实现线段转化.56/13723.(陕西,12A,3分)如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+

∠2度数为

.

答案64°解析∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠1=

∠ABC,∠2=

∠ACB,又∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴2∠1+2∠2=180°-∠A=128°,∴∠1+∠2=64°.57/13724.(河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点

C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间距离为

m.

答案100解析∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN中位线,∴AB=

MN,∵MN=200m,∴AB=100m.58/13725.(河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=

+1,点M,N分别是边BC,AB上动点,沿MN所在直线折叠∠B,使点B对应点B'

落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM长为

.

答案

或159/137解析

在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.(1)当∠MB'C=90°时,∠B'MC=∠C=45°.设BM=x,则B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=

x,∴

x+x=

+1,解得x=1,∴BM=1.(2)如图,当∠B'MC=90°时,点B'与点A重合,

此时BM=B'M=

BC=

.总而言之,BM长为1或

.60/13726.(福建龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点组成三角形都是等腰三角形

点叫做这个四边形腰点(如矩形对角线交点是矩形一个腰点),则正方形腰点共有

个.答案9解析如图,(1)连接两条对角线,对角线交点是正方形一个腰点;(2)分别以四个顶点为圆

心,以正方形边长为半径画圆,除顶点外,共有8个交点,这8个点也是腰点.综上,正方形共有9

个腰点.

61/137思绪分析

本题能够借助圆规来结构等腰三角形,半径等能够结构腰.解题关键

处理本题关键是要关注图形对称性以及等腰三角形腰、底分类讨论,同时

用好作图工具(圆规、直尺).62/13727.(江西,14,3分)在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与

点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP长为

.答案2

或4

或663/137解析

图1中,∠ABC=60°,BC=6,则AB=3,AC=3

,又∠ABP=30°,则AP=

,所以CP=2

或4

;图2中,∵∠ACB=60°,∠ABP=30°,∴△CBP是等边三角形,∴CP=CB=6.

图1图264/13728.(贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证实勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人

称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图改变得到,它是由八个全等直角三角形拼接而成,

记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH

边长为2,则S1+S2+S3=

.

65/137答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.66/13729.(福建,19,8分)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC平分线,分别

交AD,AC于P,Q两点,并证实AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

67/137解析如图,BQ是所求作∠ABC平分线,P,Q是所求作点.证实以下:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.68/13730.(广东,19,6分)如图,已知△ABC中,D为AB中点.(1)请用尺规作图法作边AC中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)条件下,若DE=4,求BC长.

69/137解析(1)如图.

(2分)E点,DE即为所求.

(3分)(2)∵DE是△ABC中位线,且DE=4,∴BC=2DE=2×4=8.

(6分)评析

本题主要考查平面几何中尺规作图基本方法(中点作法),以及三角形中位线性

质.70/13731.(浙江杭州,21,10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形三

边分别为a,b,c,而且这些三角形三边长度为大于1且小于5整数个单位长度.

(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位

长度一个三角形,请列举出全部满足条件三角形;(2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c三角形(用给定单位长度,不写作法,保留作图痕迹).71/137解析(1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)只有a=2,b=3,c=4一个三角形.如图△ABC即为满足条件三角形.

72/137考点二三角形全等1.(四川成都,6,3分)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB

是

()

A.∠A=∠D

B.∠ACB=∠DBCC.AC=DB

D.AB=DC答案

C依据题中已经有条件,分别添加∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AB=DC,符合判定三角形全

等AAS,ASA,SAS定理,能推出△ABC≌△DCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符

合全等三角形判定定理,不能推出△ABC≌△DCB,选项C符合题意.故选C.73/1372.(浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上

点A与∠PRQ顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角两边上,过点A,C画一条射线AE,

AE就是∠PRQ平分线.此角平分仪画图原理是:依据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这么

就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等依据是

()

A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案

D因为在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),故选

D.74/1373.(新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.以下结

论中:

①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③AC,BD分别平分四边形ABCD两组对角;④四边形ABCD面积S=

AC·BD.正确是

.(填写全部正确结论序号)答案①④75/137解析①在△ABC和△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC,①正确.②∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,在△ABO和△ADO中,

∴△ABO≌△ADO.同理,△CBO≌△CDO.∴OB=OD,∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠DOC=90°,∴AC⊥BD,∵AO与OC不一定相等,∴②不正确.③∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,76/137∵∠ABD和∠CBD不一定相等,∴③不正确.④∵AC⊥BD,∴四边形ABCD面积S=S△ABD+S△BCD=

BD·AO+

BD·CO=

BD·(AO+CO)=

AC·BD,④正确.解题关键

掌握全等三角形判定和性质是解题关键.77/1374.(江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下

列结论:①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中全部正确结论序号是

.

78/137答案①②③解析∵△ABO≌△ADO,∴∠BAC=∠DAC,∠AOB=∠AOD,AB=AD.∵∠AOB+∠AOD=180°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴①正确;∵AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴③正确;∵△ABC≌△ADC,∴CB=CD,∴②正确;∵DA与DC不一定相等,∴④不正确.79/1375.(湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则

BD长为

.

答案

80/137解析作AD'⊥AD,且使AD'=AD,连接CD',DD',如图.

由已知条件可得∠BAC+∠CAD=∠DAD'+∠CAD,即∠BAD=∠CAD'.∵∠ACB=∠ABC,∴AC=AB.在△BAD与△CAD'中,

∴△BAD≌△CAD'(SAS),∴BD=CD'.又∠DAD'=90°,在Rt△DAD'中,由勾股定理得DD'=

=

=4

,易知∠D'DA+∠ADC=90°,在Rt△CDD'中,由勾股定理得CD'=

=

=

,∴BD=CD'=

.81/1376.(云南,16,6分)如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD.求证:△ABC≌△ADC.

证实∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.

(2分)在△ABC和△ADC中,∵

∴△ABC≌△ADC(SAS).

(6分)82/1377.(湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求

证:GE=GF.

证实∵BE=CF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE.∴∠AFB=∠DEC,∴GF=GE.83/1378.(云南昆明,15,6分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:BC=DE.

证实∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,

(1分)在△ABC和△ADE中,

(3分)∴△ABC≌△ADE(ASA),

(5分)∴BC=DE.

(6分)(其它证法参考此标准给分)84/1379.(陕西,18,5分)如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上点,且EC∥BF,连接AD,分别与

EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.

证实∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.

(2分)∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG,∴AH=DG,∴AG=DH.

(5分)85/137思绪分析

首先利用平行线性质得出∠A=∠D,∠BHA=∠CGD,进而判定△ABH≌△DCG,

最终依据全等三角形性质及等量减等量差相等,得出结果.归纳总结

全等三角形判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要依据已知条件恰当选

择判定定理.①当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.②当已知两角对应相

等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.③当已知角及邻边对应相等时可选取SAS、ASA或

AAS.86/13710.(吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF.求证:△ABE≌

△BCF.

证实在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C=90°.

(2分)又BE=CF,

(3分)∴△ABE≌△BCF.

(5分)87/13711.(河北,23,9分)如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)任意一

点,连接MP,并使MP延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.(1)求证:△APM≌△BPN;(2)当MN=2BN时,求α度数;(3)若△BPN外心在该三角形内部,直接写出α取值范围.

88/137解析(1)证实:∵P为AB中点,∴PA=PB.又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得PM=PN,∴MN=2PN,∵MN=2BN,∴PN=BN,∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.详解:∵△BPN外心在该三角形内部,∴△BPN是锐角三角形,∴∠BPN和∠BNP都为锐角,又∵∠B=50°,∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.89/137思绪分析

(1)依据ASA可证实:△APM≌△BPN;(2)依据△APM≌△BPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形外心在三角形内部,依据∠BPN和∠BNP都为锐角及∠B=50°可得α

取值范围.方法归纳

证实三角形全等普通思绪:1.假如已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用

SSS求解.2.已知一边和一角:(1)边为角对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角一条边:①找角

另一边,利用SAS求解,②找边另一角,利用ASA求解,③找边对角,利用AAS求解.3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角对边,利用AAS求解.90/13712.(吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.

证实∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF.∴BF=CE.

(2分)又∠B=∠C,AB=DC,∴△ABF≌△DCE.

(4分)∴∠A=∠D.

(5分)91/13713.(福建,18,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D.

证实∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D.92/13714.(黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中四对全等直角三角形.图1图293/137解析(1)证实:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.94/13715.(河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB

=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)指出图中全部平行线段,并说明理由.

95/137解析(1)证实:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.

(3分)又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.

(5分)(2)AB∥DE,AC∥DF.

(7分)理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF.

(9分)96/137考点一三角形相关概念与性质三年模拟A组

—年模拟·基础题组1.(北京门头沟一模,1)如图所表示,有一条线段是△ABC(AB>AC)中线,该线段是

()

A.线段GH

B.线段ADC.线段AE

D.线段AF答案

B经过观察可知,点D为线段BC中点,则线段AD符合题意.故选B.97/1372.(北京丰台一模,14)如图,小量角器0°刻度线在大量角器0°刻度线上,且小量角器

中心在大量角器外缘边上.假如它们外缘边上公共点P在大量角器上对应度数为40°,那

么在小量角器上对应度数为

.(只考虑小于90°角度)

98/137答案70°解析由题意可知,点P和两个量角器中心组成一个等腰三角形,所以小量角器上对应度

数为(180°-40°)÷2=70°.99/1373.(北京海淀一模,19)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,连接CD,过点B作CD平

行线EF,求证:BC平分∠ABF.

证实∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=

AB=BD,∴∠ABC=∠DCB.∵DC∥EF,∴∠CBF=∠DCB,∴∠CBF=∠ABC,∴BC平分∠ABF.100/1374.(北京朝阳一模,19)如图,在△ACB中,AC=BC,AD为△ACB高线,CE为△ACB中线.求

证:∠DAB=∠ACE.

证实∵AC=BC,CE为△ACB中线,∴∠CAB=∠B,CE⊥AB,∴∠CAB+∠ACE=90°,∴∠B+∠ACE=90°.∵AD为△ACB高线,∴∠D=90°,∴∠DAB+∠B=90°,∴∠DAB=∠ACE.101/1375.(北京门头沟一模,19)如图,在△ABC中,AD是BC边上高,BE平分∠ABC,交AC边于E,∠

BAC=60°,∠ABE=25°.求∠DAC度数.

解析∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°,∵AD是BC边上高,∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°.102/1376.(北京平谷一模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,EF垂直平分CD,交AC

于点E,交BC于点F,连接DE,求证:DE∥AB.

证实∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵EF垂直平分CD,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴∠EDC=∠B,∴DE∥AB.103/1377.(北京西城一模,20)如图,在△ABC中,BC垂直平分线交BC于点D,交AB延长线于点E,

连接CE.求证:∠BCE=∠A+∠ACB.

证实∵DE垂直平分BC,∴BE=CE.∴∠BCE=∠CBE.∵∠CBE=∠A+∠ACB,∴∠BCE=∠A+∠ACB.104/1378.(北京朝阳二模,20)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上高,过点C作CE∥AB交AD

延长线于点E.求证:CE=AB.

证实∵AB=AC,AD是BC边上高,∴AD也是∠BAC平分线,∴∠BAE=∠CAE.∵CE∥AB,∴∠E=∠BAE,∴∠E=∠CAE,∴CE=AC.∵AB=AC,∴CE=AB.105/1379.(北京丰台二模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点D作AB平行

线交AC于点E.求证:DE=EC=AE.

证实∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴∠B=∠C,AD也是∠BAC平分线,∴∠BAD=∠CAD.又∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,∠ADE=∠BAD.∴∠EDC=∠C,∠ADE=∠CAD.∴DE=EC,AE=DE.∴DE=EC=AE.106/137考点二全等三角形1.(北京丰台二模,19)如图,E,C是线段BF上两点,BE=FC,AB∥DE,∠A=∠D,AC=6,求DF

长.

解析∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.∵BE=FC,∴BE+EC=FC+EC,∴BC=EF.又∵∠A=∠D,∴△ABC≌△DEF,∴AC=DF.又∵AC=6,∴DF=6.107/1372.(北京丰台一模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于

点F.求证:DE=DF.

108/137证实连接AD.∵AB=AC,D是BC边中点,∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADB=∠ADC=90°,又AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,即AD为∠BAC平分线.∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.

109/1373.(北京海淀一模,19)如图,在△ABC中,D,E是BC边上两点,AD=AE,∠BAD=∠CAE.求证:AB=AC.

110/137证实证法一:∵AD=AE,∴∠1=∠2.∵∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAE,∴∠B+∠BAD=∠C+∠CAE.∵∠BAD=∠CAE,∴∠B=∠C.∴AB=AC.

证法二:∵AD=AE,∴∠1=∠2.111/137∴180°-∠1=180°-∠2,即∠3=∠4.在△ABD与△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AB=AC.

112/1374.(北京海淀二模,19)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.请你添加一条线把它分成两

个全等三角形,并给出证实.

113/137解析连接AC,则△ABC≌△ADC.证实以下:在△ABC与△ADC中,

∴△ABC≌△ADC.

114/1375.(北京石景山一模,19)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是CB中点,AE延长线与DC

延长线相交于点F.求证:AB=FC.

115/137证实∵AB∥DC,∴∠1=∠F,∠B=∠2.∵E是CB中点,∴BE=CE.在△AEB和△FEC中,

∴△AEB≌△FEC,∴AB=FC.

116/1376.(北京东城二模,19)如图,已知∠ABC=90°,分别以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边

△BCE,连接AE,CD.求证:AE=CD.

117/137证实∵△ABD和△BCE为等边三角形,∴∠ABD=∠CBE=60°,BA=BD,BC=BE,∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC,即∠CBD=∠EBA.在△CBD和△EBA中,

∴△CBD≌△EBA.(SAS)∴AE=CD.118/1377.(北京丰台一模,20)如图,在△ABC中,AD是BC边上高线,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠

CBE.求证:AB=AC.

证实∵在△ABC中,AD是BC边上高线,BE⊥AC于点E,∴∠ADB=∠BEC=90°.∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°.又∵∠BAD=∠CBE,∴∠ABC=∠C.∴AB=AC.119/137B组—模拟·提升题组(时间:40分钟分值:50分)一、选择题(每小题3分,共6分)1.(北京海淀一模,1)用三角板作△ABC边BC上高,以下三角板摆放位置正确是

()120/137答案

A由高线定义可知选项A符合题意.故选A.121/1372.(北京石景山一模,9)用尺规作图法作已知角∠AOB平分线步骤以下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于

DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内部相交于点C;③作射线OC,则射线OC为∠AOB平分线.由上述作法可得△OCD≌△OCE依据是

()

A.SASC.AASB.ASAD.SSS答案

D由作图可知,OE=OD,EC=DC,∵OC=OC,∴△OCD≌△OCE(SSS).故选D.解题关键

处理本题关键是要明确使用圆规目标,同时要掌握全等三角形判定方法.122/137二、填空题(每小题3分,共6分)3.(北京东城一模,13)含30°角直角三角板与直线l1,l2位置关系如图所表示,已知l1∥l2,∠1

=60°.以下三个结论中正确是

(只填序号).①AC=2BC;②△BCD为正三角形;③AD=

BD.

答案②③解析由l1∥l2,∠1=60°,可得∠CDB=60°,又∠CBD=60°,所以△BCD为正三角形;∠ACD=∠A=

30°,所以AD=CD=BD.所以正确结论是②③.123/1374.(北京门头沟一模,10)如图,在5×5正方形(每个小正方形边长均为1)网格中,格点上

有A、B、C、D、E五个点,假如要求