工程力学：第四章 变形体静力学基础

14.6一点的应力和应变4.7变形体静力学分析4.1变形固体的力学分析方法4.2基本假设4.3内力、截面法4.4杆件的基本变形4.5杆的轴向拉伸和压缩第四章变形体静力学基础返回主目录4.8应力集中的概念2

前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有变形发生，还可能破坏。本章讨论的研究对象是变形体。属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法,包括下述三个方面的研究：

1)力和平衡条件的研究。2)变形几何协调条件的研究。3)力与变形之关系的研究。先以一个例子说明方法。研究主线第四章变形体静力学基础4.1变形固体的力学分析方法返回主目录3例1长2L的木板由两个弹性常数为k、自由长度为h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。解：设人重为W，板重不计讨论板与地面刚接触的临界状态，板受力如图。1)力的平衡条件：由平衡方程有：

Fy=FB-FA-W=0

MA(F)=2aFB-(x+a)W=0ABLLaaWABFAFN=0xWFBhAhB2个平衡方程，3个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。4弹簧A、B的变形为

A=hA-h(受拉伸长)--(4)

及

B=h-hB(受压缩短)--(5)

2)变形几何协调条件：刚性板保持为直板，二弹簧变形后应满足的几何条件是：

3)力与变形间的物理关系：对于弹簧，力与变形间的关系为：

FA=k

A--(6)

及FB=k

B--(7)hB/hA=(L-a)/(L+a)(x>0)--(3)ABFAFN=0xWFBhAhBaa5

综合考虑平衡条件、变形几何关系、物理关系后，得到7个方程，可求出FA、FB、

A、

B、hA、hB、x等全部未知量。

解得：板刚刚触地时，人所走过的距离为：

--（a）xaLhkW=-221()此时，二弹簧的变形为：dAWkxa=-21()dBWkxa=+21()--（b）将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。ABFAFN=0xWFBhAhBaa6研究重点是变形体的内力、变形及力与变形之关系。研究变形体力学问题的主线是：力的平衡变形的几何协调

力与变形之关系

SFy=0SMA(F)=0

hB/hA=(L-a)/(L+a)

A=hA-h;

B=h-hBFA=k

A;FB=k

B(已熟悉)

(几何分析)

(物理关系)返回主目录ABFAFN=0xWFBhAhBaa7

固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材料有关。为研究方便，采用下述假设：材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。这样的材料称为各向同性材料。

使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。2)各向同性假设

物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是均匀、连续的，且任何部分都具有相同的性质。

变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须满足几何协调（相容）条件。可取任一部分研究。1)

均匀连续性假设4.2基本假设返回主目录83)

小变形假设

相对于其原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响可以忽略不计。

在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大的误差。

上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型。

随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等。

基于此，固体力学研究的最基本问题是：均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。BCDD'返回主目录9

物体内部某一部分与相邻部分间的相互作用力。必须截开物体，内力才能显示。

内力分布在截面上。向截面形心简化，内力一般可表示为6个，由平衡方程确定。

处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。1.内力:

沿C截面将物体截开，A部分在外力作用下能保持平衡，是因为受到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于B的任何运动(截面有3个反力、3个反力偶)。MF1F2F3BAACFxMxFyFzMyMzF1F24.3内力、截面法返回主目录C10

若外力在同一平面内，截面内力只有3个分量，即:CC取截面左端研究，截面在研究对象右端，则规定：内力右截面正向左截面正向微段变形（正）内力的符号规定

轴力FN

作用于截面法向。剪力FS

作用于截面切向。弯矩M

使物体发生弯曲。若外力在轴线上,内力只有轴力。FNMFSFN受拉伸FN顺时针错动FS向上凹M112.截面法无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内力。因为，两部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。

用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法。截面法求解内力的步骤为：求约束反力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求解内力，负号表示与假设反向注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。12例2求图中1、2、3截面内力。FCDBAaaa132解：1）求约束反力：由整体有

FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2FAyFAxFBx由铰链C：FAC=F；

FCD=-F2FFACFCDC2）求各截面内力：截面1：FN1=FCD=-FFN1FCD截面2：FN2=FACcos45

=F；FS2=FACsin45

=F

M2=FACcos45

·x=F·xFCDFBxyDFN3M3FS3截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2；

M3=-FBx(a+y)-FCDy=F

(y-a)/2FACxFN2M2FS213例3作图示拉压杆的内力图。5kNFN1=5kN2）求各截面内力(轴力)。截面法、平衡方程3）画内力图。5kN5kN3kNFN

图+-5kN2kN8kN5kN+向轴力图的简捷画法：

取左端拉力方向为轴力图参考正向，画水平线；遇集中力作用则轴力相应增减；至右端回到零。解：1）求约束反力。

FA=8+2-5=5kN5kN2kN8kNAFA5kN2kNFN2=3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN14例4

截面积为A的等直杆，密度为ρ，求杆在自重作用下的内力。解：考虑任一距O点为x的横截面上的内力，受力如图。重力为W=ρgAx,由平衡方程得：

FN=W=ρgAx绘出轴力图，可见：

A截面处内力FN(=ρ

gAx

AL)最大。截面法是：用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法。截面法步骤为：求约束反力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求解内力，负号表示与假设反向AOxLxOxWFN+

gALρ15xyzFMxFNMzxyAFra1FMFSFN2.柱截面内力？1.截面1

内力？10kN8kN5kN+向3kN3.作内力图。FN

图5kN-5kN+3kN问题讨论返回主目录16ABab

xyzx1CFMyFyFxFzMzMx杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。直杆：杆件的轴线为直线。最一般情况：截面内力有6个分量。轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。扭转—内力为扭矩。如各种传动轴等。(轴)弯曲—内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)基本变形

轴向拉压弯曲

扭转4.4杆件的基本变形返回主目录17A3>A1=A2；L1>L2=L3；轴力FN=F，可见，

FN-DL间存在着线性关系。即:或写为AFNLL

DeELLEA=D=FNs=得到最简单的物理关系—胡克定律：

=E

注意：

-

关系与试件几何（L、A）无关。oFN杆321DL先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系。L1L3L2L1+DL1FFFFFL2+DL2L3+DL3Fos=FN/Ae=DL/L4.5杆的轴向拉伸和压缩返回主目录18

是材料的一种应力—应变关系模型，称为线性弹性应力—应变（物理）关系模型。轴向拉压杆的应力

、应变

和变形

L可表达为：

EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。

=E

=FN/A，单位面积上的内力，称为应力(平均应力)。单位用帕斯卡(Pa),

1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1GPa=109Pa。

=DL/L，是单位长度的变形，称为应变(平均应变)。应变是量纲一的量。E是

-

直线的斜率，应力量纲。与材料有关。因为卸载后变形可以恢复，故E称为弹性模量。19

EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。FN

、L、E、A改变，则须分段计算。应力：应变：轴向拉压杆的应力、应变定义为：轴向拉压杆的变形

L可表达为：在物理模型

=E

下有：轴向拉压杆变形分析汇总：求轴力FN？力-变形的物理关系：称为线性弹性应力-应变（物理）关系模型。

=E

202)求各段应力：

AB=FNAB/A1

=40×103N/(320×10-6)m2

=125×106Pa=125MPa

BC=FNBC/A2=40×103/(800×10-6)=50MPa；

CD=FNCD/A2=48×103/(800×10-6)=

60MPa解：1)求内力(轴力)，

例4.7

杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2，BD段为铜，A2=800mm2，

E钢=210GPa；E铜=100GPa；

l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量

AD。ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kN+向DCBA48kN40kNFN画轴力图。214)杆的总伸长为：

lAD=

lAB+

lBC+

lCD=0.68mm2)求各段应变：eAB=sAB/E钢=125/(210×103)

0.6×10-3ABCDF1=40kNlllF2=8kNDCBA48kN40kNFN3)求各段伸长：注意:

l=el=sl/E=FNl/AE

lAB=eABlAB=0.6×10-3×400mm=0.24mm

lBC=eBClBC=0.2mm；

lCD=eCDlCD=0.24mmeBC=sBC/E铜=50/(100×103)=0.5×10-3eCD=sCD/E铜=0.6×10-322讨论：杆受力如图。BC段截面积为A

，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？lABCl

F2

F1

l

DF1-F2F1

解：画轴力图。有：

D=

lAD=

lAB+

lBD

=FNABl/E(2A)+FNBDl/EA

即：

D=(F1-F2)l/E(2A)+F1l/EA=0

解得：F2=3F1

注意：固定端A处位移为零。23请认真思考、讨论思考题。（不做在本上）习题:4-1(d)、(g)4-2(b);4-5。

返回主目录作业:P104-106工程力学实验（三次）实验名称：拉伸压缩、扭转等破坏性实验，弯曲正应力、弯曲变形电测实验、组合变形电测实验。预约：胡鹏老师电话：87543038（办）地点：南一楼东北角LX105室24回顾：研究变形体力学问题的主线是：力的平衡变形的几何协调力与变形之关系求约束反力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求内力，内力方程截面法求解内力的步骤为：内力图：FN、FS、M

图返回主目录4.6一点的应力和应变(一般讨论)25

是材料的一种应力-应变关系模型，称为线性弹性应力-应变（物理）关系模型。

=E

EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。FN

、L、E、A改变，则须分段计算。应力：应变：轴向拉压杆的平均应力、平均应变定义为：轴向拉压杆的变形

L可表达为：在物理模型

=E

下有：264.6一点的应力和应变(一般讨论)一、应力内力连续分布在截面上，截面法确定的是内力的合力。T是矢量，法向分量

称正应力；切向分量

称切应力。DADFO1)定义：一点的应力T是该处内力的集度，定义为：

A是围绕O点的面积微元；

F作用在

A上的内力。DATOst027注意：一般情况下，内力非均匀分布，

截面各点应力不同。2)轴向拉压杆横截面上的应力：截面上只有轴力，故应力为正应力

。变形沿轴向是均匀的，故

在横截面上均匀分布，FNs因为s=const.故有：284.6一点的应力和应变(一般讨论)T是矢量，法向分量

称正应力；切向分量

称切应力。DADFO1)定义：一点的应力T是该处内力的集度，定义为：

A是围绕O点的面积微元；

F作用在

A上的内力。DATOst0应力：应变：轴向拉压杆的平均应力、平均应变定义为：

=E

注意：一般情况下，内力非均匀分布，截面各点应力不同。FNs29FsA3)一点的应力状态：单向拉压杆横截面上只有正应力。故A点的应力状态可用由横截面、水平面截取的微小单元体上的应力描述。是单向应力状态。

Assdxdy

一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述。单元体尺寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。由定义有：故可知，一点的应力与过该点之截面的取向有关。dxastasa斜截面？30sa

应力面积斜面法向内力法向内力在x轴的投影

设s已知，A点在法向与轴线夹角

之截面上应力为

、

，斜截面上的应力：

Fx=

(dx/sin

)×1×cos

注意式中各项是力的投影分量。Assdxdydxastasaxya由单位厚度微元力的平衡条件可得：+

(dx/sin

)×1×sin

-

(dx/tan

)×1=0

Fy=

(dx/sin

)×1×sin

-

(dx/sin

)×1×cos

=0×cosa(dx/sina)斜面长×1厚31FxssaaBBtaF

=0时，

=

，

=0，横截面上正应力最大；

求得A点在与轴线夹角为

之截面上的应力为:

=

(1+cos2

)/2；

=

sin2

/2

如：铸铁试样受压时，

=45

斜截面上的应力

和

为：

=-

/2;

=-

/2

铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力，故实验时先发生与轴线大约成45

，剪切破坏。可见：拉压杆斜截面上有正应力和切应力。

=45

时，

=

/2，

=

/2，

45

斜截面上切应力最大，且

max=

/2。324.6一点的应力和应变(一般讨论)T是矢量，法向分量

称正应力；切向分量

称切应力。DADFO1)定义：一点的应力T是该处内力的集度，定义为：

A是围绕O点的面积微元；

F作用在

A上的内力。DATOst0应力：应变：轴向拉压杆的平均应力、平均应变定义为：

=E

注意：一般情况下，内力非均匀分布，截面各点应力不同。FNs回顾：33FsA2)一点的应力状态：Assdxdy

一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述。单元体尺寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。dxastasa斜截面？

=0时，

=

，

=0，横截面上正应力最大；

求得A点在与轴线夹角为

之截面上的应力为:

=

(1+cos2

)/2；

=

sin2

/2

=45

时，

=

/2，

=

/2，

45

斜截面上切应力最大，且

max=

/2。34对于单向拉、压杆，任一点A的应力状态为：

只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力，即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。A

=0

=45

A

/2

/2或

=

/2A

z剪应力互等定理：单元体(dxxdy

x1)互垂截面上的剪应力互等，指向相对(同时指向或离开截面交线)。SM=t

dyx1xdx-t

dxx1xdy=0

t=t

zFsA结论：1)应力是矢量。

2)一点的应力与过该点的截面取向有关。

3)可以用微小单元体各面上的应力描述一点的应力状态。35变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。用应变表示，如拉压杆（应变

=

l/l0），与几何尺寸无关。

一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。线应变

、切应变

分别与s、t的作用相对应。二、应变和线应变

：过A点沿坐标方向线段的尺寸改变。

剪应变

：过A点直角形状的改变。ACC'yxDBB'D'A'dydx返回主目录36再论利用力的平衡、变形几何协调及力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。解：画受力图。有平衡方程：

MC(F)=FBsin45

-F=0

FB=31.1kN

Fx=FCx-FBcos45

=0

FCx=22kN

Fy=FCy+FBsin45

-F=0

FCy=0

亦可由三力平衡判断1)力的平衡：

二杆均为单向拉压，轴力为：

FNBC=FB=31.1kN(拉);FNCD=-FCx=-22kN(压)2)力与变形的物理关系：例4.9

图中BD杆直径d=25mm，CD杆为30×80mm矩形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。BCDF=22kNl=3mFCyFB45FCx4.7变形体静力学分析返回主目录37由力与变形间的物理关系知各杆变形为：

lBD=FNBDlBD/E(

d2/4)=1.344×10-3m

lCD=FNCDlCD/EACD=-0.1375×10-3m故变形后D点的位移为：水平位移：u=DD2=

lCD=0.137mm(

)

垂直位移：v=D2H+HD'=DD1/cosa+DD2

=

lBD+｜

lCD｜=2.038mm(

)BCDD'uv3)变形几何协调条件：(求位移)变形后D点应移至以B、C为圆心，以杆变形后的长度为半径的二圆弧交点D'处。变形量与原尺寸相比很小，用切线代替圆弧。几何关系如放大图。DD1D'HKDlBD45

D2

lCD38静定问题求反力内力应力平衡方程求位移几何方程求变形物理方程2个物体，6个平衡方程3处铰链，6个约束力问题是静定的。变形体力学静定问题的求解方法为：BCDF=22kNl=3mFCyFB45FCx39例4.10

刚性梁AB如图。杆1、2的截面积和弹性模量分别为A1、A2；E1、E2。求各杆内力。aaaABF12l解：1)力的平衡：平衡方程为：

MA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0

Fy=FAy+F1+F2=0

3个未知力，2个方程，一次静不定。2)力与变形间的物理关系：

l1=F1l/E1A1

；

l2=F2l/E2A2

3)变形几何协调条件:变形后应有：

l2=2

l1

；

即F2l/E2A2=2F1l/E1A1。解得：FAyF1F2Dl2Dl1求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。40静不定结构可减小构件内力，增加刚度，减小变形。若去掉杆1，成为静定结构，则：

F2=3F/2；FAy=-F/2。讨论若二杆相同，E1=E2=E，A1=A2=A；有：

F1=3F/5；F2=6F/5；FAy=-4F/53个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力问题是一次静不定的。aaaABF12lFAyF1F2解答为：静不定问题，反力、内力、应力均与材料有关。变形体静不定问题的求解方法为：静不定问题反力、内力变形、应力、位移...联立求解力的平衡方程材料物理方程变形几何方程41解：温度升高时，杆BC要伸长。两端约束限制伸长，引起约束反力。约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短，故两端约束力如图。1)力的平衡:FB=FC=F

（温度与变形、力与变形关系）设温度升高后杆的伸长为：

LT=

T

L

2)物理关系:无外力作用时，温度变化在静不定构件内引起的应力。例4.11二端固支杆BC长L，截面积A。已知弹性模量E、线膨胀系数

。若温度升高

T，求反力和杆内应力。DLTBCLDLRBCFBFC轴力FN=F，故杆的缩短为：

LR=FL/EA温度应力42可知：温度变化将在静不定构件内引起温度应力。材料线膨胀系数

越大、弹性模量E越大、

T

越大，温度应力越大。如除掉C端固定约束，则构件成为静定的。静定结构允许温度引起的变形，不产生温度应力。约束使杆长不变，必有：

LT=

LR

3)变形几何协调条件：DLTBCLDLRBCFBFC即：

T·L=FL/EA故得到二端约束反力为：

F=

T·EA

杆内的应力（压应力）为：

=F/A=

T·E43

由于尺寸误差而强迫装配时，在结构内引入的应力。例4.12

图中刚性梁由三根钢杆支承，

E=200GPa,杆截面积A=200mm2。

若中间杆2短了

=0.5mm，求结构强迫安装后各杆内的应力。解：强迫安装时，杆2受拉伸长，杆1、3受压缩短。

MC(F)=F1a-F3a=0

\F1=F3

Fy=F2-F1-F3=0

\F2=2F1

1)力的平衡条件：d1d2d装配前杆2伸长

2，杆1、3缩短

1，为弥补尺寸误差，有：

1+

2=

2)变形几何协调条件：aaB12Ad3L=1mCF1F2F3装配应力443)力与变形的关系:

1=F1L/EA；

2=F2L/EA

即有：F1L/EA+F2L/EA=

注意

F2=2F1

解得：F1=

EA/3L(压力)

F2=2

EA/3L(拉力)d1d2d装配前可知：强迫装配将在静不定结构内引起装配应力。误差

越大、材料的E

越大，装配应力越大。如是静定结构，装配无需强迫，不产生装配应力。各杆应力为：

1=F1/A=

E/3L=0.5×10-3×200×109/3×1=33.3×106Pa=33.3MPa(压应力)

2=FN2/A=2

E/3L=66.7MPa(拉应力)45静定和静不定问题解题方法的同异：基本方程都是平衡方程、物理方程和几何方程。变形体静力学问题研究对象受力图平衡方程求反力？静不定物理方程几何方程静定求内力应力求变形物理求位移几何联立求解反力、内力、应力变形、位移等可能有温度应力、装配应力返回主目录46沿aa上各点测得的应变如图。

非均匀分布，孔边

=

max。

由胡克定律,应力分布也非均匀，孔边最大应力为

max=Kt

ave。(

max<

ys)

式中Kt>1,称为弹性应力集中因数。1）平板受拉

中截面aa由对称性不变，bb移至b'b'。

线应变沿截面均匀分布，故有:

=const.；

=E

=const.

应力