椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型（学生版）

椭圆中点弦问题(点差法)平移+齐次化(手电筒模型)椭圆第三定义(点差法)11122 3y 3y334y=x+m与C交于4A.B.C.-D.-5 4A.B.C.D.6设A，B为双曲线x6设A，B为双曲线x2-+y247+y24722kABOM=e2-1kAB⋅kOM=-1½椭圆垂径定理(中点弦模型)：已知A,B是椭圆+=1a>b>0上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB中点，则有kAB⋅kOM=-=e2-112kOM=，kAB=--，kAB⋅kOM=--xy +=xy2 + +=1②2两式相减得：+=0，整理得=-ABOM=-=e2-112仍有kOM=，kAB=--，kAB⋅kOM=-- :+=1x-xx-x2 + +=12y1-y22整理得--=-∴kAB⋅kOM=-=1①-=1② x-=1①-=1②2x-xyx-xy-y整理得=1已知椭圆E：+=1a>b>0的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为61A.B.C.D.441已知直线l:x-2y-2=0与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点.若弦AB被直线m:x+1A.B.C.D. 1已知双曲线E：-=1a>0,b>0，斜率为-的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为-，则E111k2k3=-，则椭圆C的离心率为.111k2k3=-8，则双曲线E的离心率为.1:+=1a>b>0上存在两点A,B关于1A.B.C.D.1(多选)已知抛物线E:y2=4x上的两1)B.x1+x2是定值5566kPAPB=-1kPA⋅kPB=e2-1½点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=时e2-1=.【证明】A,B是椭圆+=1a>b>0上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有kPA⋅kPB=-=2-1A(x22+=1②+=+=1②2两式相减得：+=0，整理得=-PAPB=--=-=e2-1kPAPB=kOM⋅kPB=-=e2-12=1①-=1② x-=1①-=1②a2两式相减得：-=0，整理得=PAPB=--==e2-12)=1①x-=1①2 - -=1②2x-xyx-xy-y整理得=∴kPA⋅kPB=kPB⋅kOM==e2-11已知M为双曲线 4 4()A.5B.3C.D.2233 3 3A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=11y2x2y2288(与A1过A作垂直于x轴的直线分别交Γ,BC于点M，N.若=3，则双曲线Γ的离心率是()A.2B.3C.2D.2311已知过坐标原点O且异于坐标轴的直线交椭圆+=1(a>b>0)于P,M两点，Q为OP中点，1椭圆离心率为()A.B.C.D.1已知A，B是椭圆+=1(a>b>0)的左右顶点，P是双曲线-=1在第一象限上的一12已知A、B是椭圆+=1a>b>0与双曲线-=1a>0,b>0的公共顶点，P是双曲2线上一点，PA，PB交椭圆于M，N.若MN过椭圆的焦点F，且tan∠AMB=-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.99B|=x，P|+2a-|AM|=x+2aP|+2a-|BN|=-x+2a2y-122y-12FBF1F2的内切圆半径r1，r2满足3r1=4r2，则双曲线E的离心率取值范围为()11112FF2A.圆O1和圆O2外切B.圆心O133 2 2A.切点M与右焦点F2重合B.|F1Q|=|F1PC.S△FBI+S△FAI-S△ABI=6D.cos∠AF1B=1F1A.62-8B.62-4C.8-42D.6-42椭圆焦半径与焦点弦夹角公式F将F⋅cosθ-4a=4c2-4a2⇒F1P==,F双曲线焦半径与焦点弦夹角公式将FQ=2a-F1P代入化简得：F双曲线焦半径与焦点弦夹角公式则PF+QF=2a⋅b2已知双曲线-=1a>b>0，求出2种AF22=AF12+F1F22-2AF1⋅F1F2cos将AF2=AF1-2a代入得：AF12-4a⋅AF1+4a2=AF12+4c2-4c⋅AF1⋅cosα,4c⋅cosα-4a=4c2-4a2⇒AF1==，同理可得：BF1==，则AB=AF1-BF1=.AF22=AF12+F1F22-2AF1⋅F1F2cosπ将AF2=AF1+2a代入得：AF12+4a⋅AF1+4a2=AF12+4c2+4c⋅AF1⋅cosα,4a-4c⋅cosα=4c2-4a2⇒AF1==,同理可得：BF1==,则AB=AF1+BF1=.111F1=223344QF2=.556=λb2=λ=λb2=λ=λ1⇒1⇒已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B即e=1+k2112234PFAB=1PFAB=12y-12y-12D.C.A.B.D.C.A.B.32y-22y-22 A.2B.3C.5D.333A.B.C.D.44A.B.C.D.55，5A.3-1B.4-23C.D.66在在()A.2B.3C.4D.5778:-.>0)在C上.tan∠F1F2P=2+.2y-9=1a>0,b>2y-9=1a>0,b>0的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，2A2.1已知双曲线C:kx2-y2=1的左焦点为F，P3m,-4mm>0为C上一点，且P与F关于C的一条1 A.B.3C.2D.5 211A.B.C.D.11A.B.C.23D.+y221+y221 22线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为-，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.设双曲线的方程为：-=1根据点到直线的距离公式得：d===b两条渐近线于P,Q两点.2=(*)x垂直的直线分别交如图2.若=λ(0<λ<1)，则e2=1122 =3(2024·江苏·一模)设双曲线C：-=1(a>34已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点F2作E的渐近线45(2024·全国·模拟预测)设F为双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点，过F作C的一条渐近线5A.B.C.D.6已知双曲线E:-=1a>0,b>0与直线y=kx相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个6 4 4双曲线E的标准方程为.77() A.PE+PF=B.PE⋅PF=C.⋅=-D.S△PEF的最大值为e=.1211A.B.C.D.11直线AF与椭圆的另一个交点为B，若AF⊥FC,AF=3BF，则椭圆M的离心率为()A.B.C.3-1D.1 ,则E的离心率为() ,则E的离心率为()A.B.C.D. ∠BAF1=()A.-B.-C.D.-11F111122