专题10 圆周角综合题（解析版）

专题10圆周角（综合题）知识互联网知识互联网易错点拨易错点拨知识点：圆周角

1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

知识要点：

细节剖析:(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形：（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。易错题专训易错题专训一．选择题1．（2022•肃州区模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（）A．34° B．56° C．68° D．102°【易错思路引导】连接AD，根据AB是直径可知∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，即可求出∠DAB，根据圆周角定的推论可得∠DAB＝∠BCD，则问题得解．【规范解答】解：连接AD，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，又∵∠DAB＝∠BCD，∠ABD＝56°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BCD＝34°．故选：A．【考察注意点】本题主要考查了圆周角定理的推论以及直径所对圆周角为90°等知识，熟知直径所对的圆周角是直角，根据圆周角定理的推论得到∠DAB＝∠BCD是解答此题的关键．2．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A． B．2 C．2﹣2 D．2﹣2【易错思路引导】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．【规范解答】解：由题意可得AB＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP为半径作弧交数轴于点Q，∴BQ＝PB＝2．∴点Q表示数为2﹣2．故选：C．【考察注意点】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．3．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30° B．25° C．10° D．5°【易错思路引导】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．【规范解答】解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，故选：A．【考察注意点】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2021•萧山区二模）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关 B．当∠α＝45°时，S＝ C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上 D．S随∠α的增大而增大【易错思路引导】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．【规范解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α的大小无关；B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．【考察注意点】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．5．（2019秋•滨江区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（）A．20° B．40° C．70° D．80°【易错思路引导】根据OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，DE＝OD，分三种情况画图进行计算即可．【规范解答】解：连接OC，①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，设∠OCE＝x，∵OC＝OD，∴∠OCE＝∠D＝x，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∵DE＝OD，∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x∴2（60°+x）+x＝180°解得x＝20°．∴∠OCE的大小为20°；②如图2，设∠OEC＝x，∵DE＝OD，∴∠EOD＝∠E＝x，∵DO＝CO，∴∠ODC＝∠OCD＝2x，∠EOC＝2∠A＝60°∴在△OCE中，x+60°+2x＝180°，解得x＝40°，∴∠OCE＝2x＝80°；③如图3，设∠ACE＝x，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，∵OD＝DE∴∠E＝ODC＝15°+x，∴15°+x+x＝30°解得x＝10°，∴∠OCE＝30°+x＝40°．综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．故选：C．【考察注意点】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．6．（2020秋•鹿城区校级期中）如图，分别以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝12，DE＝2，且AC˃6，则AC长为（）A．6+ B．8+ C．6+2 D．8+2【易错思路引导】解：连接DA，DC，EO，BC．E是中点，推OE垂直平分AC，∵D是半圆中点，推FD垂直平分AC，D、E、F、O在同一条直线上，F是AC的中点，O是AB中点，推OF是△ABC的中位线，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC长．【规范解答】解：连接DA，DC，EO，BC．∵E是中点，∴OE垂直平分AC，∴F是AC的中点．∵AC为⊙F的直径，∴∠ADC＝90°．∵D是半圆中点，∴FD垂直平分AC，∴D、E、F、O在同一条直线上，DA＝DC，∠DFA＝90°，∴∠DAF＝45°．∴DF＝AF．设EF＝x，DF＝AF＝x+2，OF＝6﹣x∴AC＝2x+4．∵F是AC的中点，O是AB中点，∴OF是△ABC的中位线，∴BC＝2OF＝12﹣2x．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，122＝（4+2x）2+（12﹣2x）2，x＝2±．∵AC˃6，∴x＝2+．AC＝8+2．故选：D．【考察注意点】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，掌握这三定理的熟练应用，证明D、E、F、O在同一条直线上是关键．二．填空题（共7小题）7．（2022•沈阳二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为50°．【易错思路引导】根据圆内接四边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【规范解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．【考察注意点】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形的外角性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8．（2022•零陵区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是25°．【易错思路引导】根据平角定义求出∠AOC＝50°，再利用圆周角定理可得∠D＝∠AOC，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵∠BOC＝130°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°，∴∠D＝∠AOC＝25°，故答案为：25°．【考察注意点】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2019•西城区二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为100°．【易错思路引导】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．【规范解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【考察注意点】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（2022•海曙区校级模拟）如图，AB是⊙O的弦，，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC是△ABP的中线．（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝2；（2）AC的最大值＝1+．【易错思路引导】（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝2，再证明H和C重合即可得到答案；（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．【规范解答】解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠P，∴△BAC∽△BPA，∴＝，∴BA2＝BC•BP，∵AC是△ABP的中线，∴BP＝2BC，∴（2）2＝BC•2BC，∴BC＝2，在Rt△ABH中，∠CAB＝∠P＝45°，AB＝2，∴BH＝AH＝2，又∵BC＝2，∴点H和点C重合，∴AC＝AH＝2．故答案为：2；（2）如图2，∵点P的运动轨迹是圆，∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，∴当AC'经过圆心O'时最大．∵∠P＝45°，∴∠AOB＝90°，又∵AB＝2，∴AO＝BO＝2，OO'＝1，∴AO'＝，∵O'C'＝1，∴AC'＝1+，∴AC的最大值为1+．故答案为：1+．【考察注意点】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和圆中最值问题，解题的关键是，确定AC最大时点C的位置．11．（2022•禅城区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为5﹣5．【易错思路引导】连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求DF的长．【规范解答】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴＝，即＝，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．【考察注意点】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．12．（2022•固原一模）如图，点A、B、C在圆O上，BC∥OA，连接BO并延长，交圆O于点D，连接AC，DC，若∠A＝28°，则∠D的大小为34°．【易错思路引导】利用平行线的性质求出∠ACB＝28°，再利用圆周角定理求出∠AOB＝56°，利用平行线的性质可得∠CBO＝56°，再证明∠DCB＝90°可得结论．【规范解答】解：∵AO∥BC，∠A＝28°，∴∠ACB＝∠A＝28°，∴∠AOB＝2∠ACB＝56°，∴∠CBO＝∠AOB＝56°，∵BD是直径，∴∠DCB＝90°，∴∠D＝90°﹣56°＝34°．故答案为：34°．【考察注意点】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识．解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．（2019•武汉自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点、当∠A为锐角时，则∠A与∠CBE的关系为∠BAC＝2∠CBE．【易错思路引导】连接AD，由AB是⊙O的直径知∠BEA＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质，据此求解可得．【规范解答】解：∠CAB＝2∠EBC，理由如下：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BEA＝∠ADB＝90°，∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD，∴∠CAB＝2∠EBC．故答案为：∠CAB＝2∠EBC．【考察注意点】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理．三．解答题14．（2022•兴化市开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交△ABE边AE于点D，连接OD，且满足OD∥BE，点P在BA的延长线上，PD交BE于点C．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PA＝2，∠B＝60°，PC⊥BE，求直径AB的长．【易错思路引导】（1）根据OD∥BE，得出∠ADO＝∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由OD∥BE，得到∠POD＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．【规范解答】（1）证明：∵OD∥BE，∴∠ADO＝∠E，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：∵OD∥BE，∠B＝60°，∴∠POD＝∠B＝60°，∴cos∠POD＝，在Rt△POD中，cos∠POD＝＝，∴OP＝2OD，∵OD＝OA，OP＝PA+OA，∴OA＝OD＝PA＝2，∴AB＝2OA＝4，即⊙O直径为4．【考察注意点】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质等知识点，熟记圆周角定理是解题的关键．15．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．【易错思路引导】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积..【规范解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，∵BC＝DC，∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．【考察注意点】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．16．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．【易错思路引导】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．【规范解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．【考察注意点】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键．17．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C．（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．【易错思路引导】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论；（2）先利用勾股定理计算AD的长，证明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作辅助线，证明四边形OGFD是矩形，根据同角的三角函数可得FH的长，最后利用勾股定理可得结论．【规范解答】证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，∴AD＝＝＝2，∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△DFC，∴，∴，∴CF＝1，DF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，过O作OG⊥AC于G，∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，∴四边形OGFD是矩形，∴OG＝DF＝2，∴sin∠FAH＝，∴，FH＝，Rt△AFH中，AH＝＝．【考察注意点】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，有一定的难度．18．（2022•鹿城区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．【易错思路引导】（1）如图1，利用垂径定理得到＝，根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD，根据圆周角定理的推论得到∠AGD＝∠ACD＝∠ADC，再利用圆内接四边形的性质得到∠FGC＝∠ADC，从而得到结论；（2）如图，过点G作GH⊥DF于点H．证明△DAG≌△FCG，推出AD＝CF＝3，GD＝GF，利用勾股定理求出AE，AF，再利用平行线分线段成本定理定理求解即可．【规范解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．【考察注意点】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2021秋•洪山区期中）已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H