2024届上海市南模中学高二上数学期末调研试题含解析

2024届上海市南模中学高二上数学期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上有一点P满是(点O为坐标原点),那么双曲线C的离心率为()A. B.C. D.2．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或233．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（）A.2 B.C.4 D.84．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.45．已知函数与，则它们的图象交点个数为（）A.0 B.1C.2 D.不确定6．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.7．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（）A. B.C. D.8．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A. B.C. D.9．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（）A. B.C. D.10．下列关于函数及其图象的说法正确的是（）A.B.最小正周期为C.函数图象的对称中心为点D.函数图象的对称轴方程为11．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（）A椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆12．椭圆的短轴长为（）A.8 B.2C.4 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为_______.14．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.15．设，若不等式在上恒成立，则的取值范围是______.16．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由18．（12分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和19．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱（1）试确定的值，并证明你的结论；（2）求平面与平面夹角的余弦值20．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.（1）证明：平面PAD；（2）若M是BP的中点，求二面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；（2）过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点，……，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.22．（10分）椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析焦点三角形即可【详解】如图,设左焦点为,因为,所以不妨设,则离心率故选:D2、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3、C【解析】根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.【详解】由椭圆的性质可知，椭圆的离心率为，则，即所以椭圆C的长轴长为故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.4、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B5、B【解析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.【详解】令，则，由，得，∴当时，，当时，.∴当时，取得最小值，∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.故选：B.6、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A7、C【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.【详解】连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，，（负值舍去）故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.8、C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.9、B【解析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量【详解】因为是的中点，是的中点，，故选：B10、D【解析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可【详解】∵∴，A选项错误；的最小正周期为，B选项错误；令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确故选：D11、A【解析】根据椭圆的定义即可求解.【详解】解：，故，又，根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.故选：A.12、C【解析】根据椭圆的标准方程求出，进而得出短轴长.【详解】由，可得，所以短轴长为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15【解析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而可得展开式中的常数项【详解】二项式展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的常数项为故答案为：1514、【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：15、【解析】构造，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定的范围.【详解】令，则且，若得：；若得：；所以在上递增，在上递减，故，要使在上恒成立，即.故答案为：.16、8【解析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由长方体性质知两两垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面积的最小值是8故答案为：8三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；【小问2详解】解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.18、（1）an=n（2）【解析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求【小问1详解】因a1，a2+1，a3+6成等比数列，所以又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；【小问2详解】因为，所以，所以，所以所以19、（1），证明见解析（2）【解析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.【小问1详解】.证明如下：在△中，因为点分别为的中点，所以//.又平面，平面，所以//平面.因为平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因为点为的中点，所以点为的中点，即.【小问2详解】因为底面为正方形，所以.因为底面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则，，，因为分别为的中点，所以.所以，.设平面的法向量，则即令，于.又因为平面的法向量为，所以所以平面与平面夹角的余弦值为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.【小问1详解】证明：由已知为等边三角形，且，所以又因为，,在中，，又，所以在底面中，，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，所以，由已知可知平面ABCD的一个法向量设平面的一个法向量为，由，即，得，令，则，所以，由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21、（1）在抛物线上，理由见解析（2）,,.【解析】（1）根据直线的方程设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标即可判断点是否在抛物线上；（2）设出直线的直线方程，与抛物线联立，令，即可求出，同理可以求出，设出直线的直线方程，与抛物线联立，令即可求出的方程，若令，，即，故数列是首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【小问1详解】由已知条件得直线的方程为，设点，则，由直线的方程为可得点的坐标为，点满足抛物线，则点是否在抛物线上；【小问2详解】设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，，解得，的直线方程为，则，即，由此可知，设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，，解得，的直线方程为，则，即，由此可知设点，设直线方程为，将直线与抛物线联立得，，其中，即，，解得，直线的方程为，即，令得，即直线过点，则直线的斜率为，直线的方程也可以表示为，即，令，，即，则，即数列是首项，公比为的等比数列，故.22、（1）（2）存在，且直线的方程为或【解析】（1）分析可知，，直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、，由已知得出，求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为，则，，所以，椭圆的方程为，即，易知点，则点，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，，解得，则，，因此，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：易知点，若直