专题02直线的方程10种常见考法归类

专题02直线的方程10种常见考法归类1、直线的点斜式方程我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程．注意点：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线,若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.(3)表示直线去掉一个点；表示一条直线．2、直线的斜截式方程(1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．(2)把方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况,在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．(5)斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．3、直线的两点式方程经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)，叫作直线的两点式方程．注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．(2)直线方程的表示与选择的顺序无关．(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．(4)在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．4、直线的截距式方程方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．(4)过原点的直线的横、纵截距都为零．(5)求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距．5、直线的一般式方程方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．注意点：(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程；②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；③x的系数一般不为分数和负数；④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．(3)A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．(4)在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．6、求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外．7、求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．8、利用两点式求直线的方程首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．9、截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式方程的逆向应用．10、利用截距式求直线方程的注意事项：(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0．①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；截距相反且不为零，可设x－y＝a；截距相等且均为零，可设y＝kx．11、直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．12、求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．13、含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．14、已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤15、直线与坐标轴形成三角形问题（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．另外，求出直线的横纵截距，表示出面积，注意要加绝对值（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．16、直线过定点问题(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2)将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．考点一直线的点斜式方程考点二直线的斜截式方程考点三直线的两点式方程考点四直线的截距式方程考点五直线的一般式方程考点六直线一般式方程的应用考点七直线方程的最值问题考点八直线与坐标轴形成三角形问题考点九动直线所过定点问题考点十直线方程的综合问题考点一直线的点斜式方程1．【多选】（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．若直线斜率为，则它的倾斜角为B．若，，则直线的倾斜角为C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点【答案】ABC【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D.【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，易知，故直线必过，故C正确；对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．故选：ABC.2．（2023秋·高二课时练习）思维辨析（对的写正确，错的写错误）（1）过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成．()（2）y轴所在直线方程为．()（3）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．()（4）过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．()【答案】错误错误错误错误【分析】对于（1），由点不满足即可判断；对于（2），由y轴所在直线方程为即可判断；对于（3）根据直线在y轴上的截距的定义即可判断；对于（4），由点斜式的限制条件即可判断.【详解】（1）错误．点不满足，所以不能表示过点斜率为k的直线．（2）错误．y轴所在直线方程为．（3）错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标．（4）错误．过点且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来．故答案为：错误；错误；错误；错误3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（

）A．斜率为2的一条直线B．斜率为的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）【答案】C【分析】根据方程成立的条件知，故它表示的直线中要去除一点.【详解】方程成立的条件知，当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），故选:C4．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程是，则（）A．直线经过点，斜率为-1 B．直线经过点，斜率为-1C．直线经过点，斜率为-1 D．直线经过点，斜率为1【答案】C【分析】将直线的方程化为点斜式方程的形式，即可得出答案.【详解】根据已知可得出直线的点斜式方程为，所以，直线经过点，斜率为-1.故选：C.5．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（

）A． B．.C． D．【答案】A【分析】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果.【详解】因为倾斜角为，则斜率，且过点，则，即.故选：A6．（2023秋·高二课时练习）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．【答案】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合点斜式方程求解即可.【详解】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，其斜率为，所以所求直线的点斜式方程为．7．（2023秋·高二课时练习）已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为．【答案】【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解.【详解】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为．又直线过点，所以直线的点斜式方程为．故答案为：8．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过两点的直线方程为()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为，又由直线的点斜式方程，可得，即.故选：B.9．（2023秋·陕西延安·高一校考期末）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意先写出反射光线的倾斜角和斜率，再应用点斜式写出直线的方程即可.【详解】光线沿倾斜角为的直线射向轴上经轴反射，则反射直线的倾斜角为,反射光线斜率为,且反射光线过点,这反射光线所在直线方程为点斜式方程是.故选:B.10．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，求边上的中线所在直线的方程．【答案】【分析】求得两点的中点坐标，求出边上的中线所在直线的斜率，即可得答案.【详解】,，的中点为，又，由斜率公式可知，边上的中线所在直线的斜率，边上的中线所在直线的方程为，即直线的方程为：.11．（2023秋·福建泉州·高二校考阶段练习）已知两点，.(1)求线段的垂直平分线；(2)直线过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据中点坐标和垂直的斜率关系，根据点斜式即可求解，（2）求出的斜率进而得其倾斜角，即可求解的倾斜角.【详解】（1），的中点为且,所以线段的垂直平分线方程为，即（2）直线的斜率分别为因此直线的倾斜角分别为所以直线与线段有交点，则倾斜角的范围为12．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限的中，，，，，求直线BC的点斜式方程.【答案】【分析】结合图象求出直线斜率，代入点斜式方程求解即可.【详解】如图：

因为，所以，故直线BC的点斜式方程为.13．（2023春·湖南株洲·高二统考期末）将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是．【答案】【分析】由直线的倾斜角，得到逆时针方向旋转后的倾斜角，求出旋转后的斜率，使用点斜式求出旋转后的直线方程即可.【详解】直线的斜率，倾斜角，绕直线上一点沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率，∴旋转后得到的直线方程为：，即.故答案为：.14．（2023秋·四川泸州·高二统考期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果.【详解】设直线l的斜率为，则方程为，令，解得，故直线l在x轴上的截距为，∵在x轴上的截距的取值范围是，∴，解得或.故选：C.考点二直线的斜截式方程15．（2023秋·高二课时练习）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为．【答案】【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解.【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，所以直线的方程，即.故答案为：.16．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）直线l的斜率为方程的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意，由点斜式写出直线的方程.【详解】由题意，方程的根为1，所以，直线l的方程为.故选：C.17．（2023秋·高二校考课时练习）已知直线不经过第一象限，求实数k的取值范围.【答案】【分析】先根据一次函数的图像不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【详解】由题意知,该直线在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,即，得.所以k的取值范围是.18．【多选】（2023秋·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（

）A．当时，函数图像经过一、二、三象限B．当时，函数图像经过一、三、四象限C．时，函数图像必经过一、三象限D．时，函数在实数上恒为增函数【答案】ABCD【分析】根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可；【详解】在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限；若，则图像经过一、三、四象限；若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数；故选:ABCD.19．（2023·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【详解】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B20．（2023·高一课时练习）直线与的位置关系如图所示，则有(

)A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】根据图像得到直线的倾斜角小于与直线的倾斜角，根据正切函数图像得出两斜率的大小，根据两直线与y轴的交点位置即可确定出截距的大小．【详解】设直线的倾斜角分别为,由题图可知,所以.又,所以.故选：A.21．（2023·高二课时练习）直线和直线在同一坐标系中可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.【详解】根据题意可知，，对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；对于，由可知，，此时：符合，故正确.故选：D.【点睛】本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.22．（2023秋·河南濮阳·高二濮阳一高校考阶段练习）直线与直线在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用直线斜率和纵截距的的意义判断正负，对四个选项一一验证，即可得到结论.【详解】对于A选项，由得，而由得，矛盾；对于B选项，由得，而由得，矛盾；对于C选项，由得，由得，矛盾；对于D选项，由得，由得，不矛盾．故选：D．考点三直线的两点式方程23．（2023秋·高二课时练习）经过点的直线的两点式方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解【详解】因为直线经过点，所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A24．（2023秋·高二课时练习）若直线l经过点，则直线l的方程为．【答案】【分析】根据所给的坐标可判断直线的斜率不存在，从而可求出直线方程.【详解】由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l的斜率不存在，所求的直线方程为．故答案为：25．（2023·高二课时练习）一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是．【答案】【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点关于轴对称的点，又过即可得解.【详解】首先求点关于轴对称的点，所以反射光线过和两点，故直线方程为：，即，故答案为：.26．（2023·高二课时练习）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程．【答案】【分析】先求得线段BC的中点D的坐标，再代入直线的两点式方程即可解决.【详解】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为．又BC边上的中线经过点，所以BC边上中线的两点式方程为．考点四直线的截距式方程27．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）已知的顶点，，．(1)求AB边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求．【详解】（1）线段的中点为，则中线所在直线方程为：，即.（2）设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或．28．（2023秋·吉林松原·高二校考阶段练习）已知直线过点．(1)若直线过点，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可；（2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况；【详解】（1）因为直线过，，所以直线方程为，整理得.（2）当直线经过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，解得，所以直线方程为；当直线不经过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，解得，所以直线方程为，综上所述，直线方程为或.29．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程【详解】当截距时，设直线方程为，将，代入得，∴方程为当截距时，过原点和点的直线方程为又且在两坐标轴上的截距相等，∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和故选：D.30．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为.【答案】或.【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程.【详解】设直线方程的截距式为.则，解得或，则直线方程是或，即或.故答案为：或.31．【多选】（2023秋·高二课时练习）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】设所求的直线方程为，求出横截距，纵截距，再由过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出，即得解.【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为，当时，得横截距，当时，得纵截距，因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直线的方程为或或.故选：ABC.考点五直线的一般式方程32．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知直线经过点，则直线的一般式方程为．【答案】【分析】由直线的两点式求解，然后化为一般式即可.【详解】因为直线过点，所以直线的方程为，化简得．故答案为：.33．（2023·高二课时练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为，；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用点斜式，写出直线方程（2）利用两点式，写出直线方程（3）利用截距式，写出直线方程（4）根据斜率和已过点，写出直线方程【详解】（1）由点斜式，得直线方程为，即.（2）由两点式，得直线方程为，即.（3）由截距式，得直线方程为，即.（4）平行于x轴，所以，直线的斜率为0，又因为直线过点B(4,2)，所以，直线方程为：34．（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【详解】设边上的高所在的直线为，由已知可得，，所以直线l的斜率.又过，所以的方程为，整理可得，.故选：A.35．（2023秋·高二课时练习）已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1，1)，B(5，1)，∠A=，∠B=，则直线AC的一般式方程为，BC的一般式方程为.【答案】【分析】根据条件求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程即可得到答案.【详解】由题意知，直线AC的倾斜角为∠A=，所以.又直线AC过点A(1，1)，所以直线AC的方程为，整理得同理可知，直线BC的倾斜角为，所以又直线BC过点B(5，1)，所以直线BC的方程为整理得故答案为：①；②36．（2023秋·高二课时练习）思维辨析（对的写“正确”，错的错误“错误”）（1）任何直线方程都能表示为一般式.()（2）任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.()（3）对于二元一次方程，当时，方程表示斜率不存在的直线.()（4）将直线方程化为截距式为.()【答案】正确错误错误错误【分析】根据直线方程的五种表达形式及其适用条件，逐一分析即可.【详解】对于（1）斜率存在和不存在的直线都可以表示为一般式，如与x轴垂直的直线可表示为等，正确；对于（2），如斜率不存在的直线不能化为点斜式、斜截式、两点式，错误；对于（3），对于二元一次方程，当时，方程表示斜率为0的直线，错误；对于（4）当系数或时，直线方程就不能化为截距式，错误.故答案为：（1）正确，（2）错误，（3）错误，（4）错误.考点六直线一般式方程的应用37．（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？(1)过坐标原点；(2)与两条坐标轴都相交；(3)只与x轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．【答案】(1)且不同为(2)都不为0(3)且(4)(5)证明见解析【分析】（1）将代入可得答案；（2）分、讨论，可得答案；（3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，根据直线方程可化成形式可得答案；（4）将直线方程化为可得答案；（5）将代入直线方程得，再代入直线方程化简可得答案.【详解】（1）将代入得，当且不同为方程表示过坐标原点的直线；（2）直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在，当且时直线过原点满足条件，当时，令时，令时，所以都不为0，综上所述，时直线与两条坐标轴都相交；（3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，因此直线方程可化成形式，故且；（4）x轴的方程为，因此方程中时方程表示的直线是x轴所在直线；（5）因为为直线上一点，所以，所以，所以方程可化为，即，所以这条直线的方程可以写成．38．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线与直线的斜率相等，则.【答案】-6【分析】由斜率的概念将一般式转化计算即可.【详解】解：直线一般式：，时其斜率为，故依题意，，解得.故答案为：.39．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则（

）A．0 B．1C． D．2【答案】D【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可.【详解】因为直线在轴上的截距为，所以，所以，则直线方程可化为，又因为直线倾斜角为，所以，所以.故选：D40．（2023秋·河北廊坊·高二廊坊市第一中学校考阶段练习）已知，，则直线通过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】B【分析】利用直线斜率与截距的意义即可得出．【详解】解：直线化为．∵，，∴，，∴直线通过第一、二、四象限．故选：B．41．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由一次函数的性质判断【详解】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B42．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，∵直线经过第一、二、四象限，∴，∴且．故选：A.43．（2023·全国·高二假期作业）如果，，那么直线不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设，直线可写成，又，，∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选：A.44．（2023春·贵州遵义·高二统考期中）若点在直线上（其中a，b都是正实数），则的最小值为.【答案】/【分析】根据点在直线上可得的关系，再利用“1”的妙用求解作答.【详解】依题意，，而，于是，当且仅当，即时取等号，由，得，所以当时，取得最小值为.故答案为：考点七直线方程的最值问题45．（2023·高二课时练习）若直线l过点P（1，2），且与x轴、y轴正方向交于A、B两点，求使得最小的直线l的方程．【答案】.【分析】根据题意设出直线方程，结合已知利用基本不等式进行求解即可.【详解】设所求的直线方程为，令，得；令，得．于是，当且仅当时取等号，即当且仅当时等号成立，直线l的方程为.46．（2023秋·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）过点作直线分别交x，轴正半轴于A，B两点，则的最小值为.【答案】4【分析】通过已知得到直线的斜率存在，且小于0，设出斜率，即可得出直线的方程，即可得出A，B两点的坐标，再由两点间距离公式列式，根据基本不等式得出答案.【详解】过点的直线分别交x，轴正半轴于A，B两点，直线的斜率存在，且小于0，设直线的斜率为，则直线的方程为：，则，，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故答案为：4.47．（2023·上海·高二专题练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．【答案】(1)(2)，的最小值为4【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程；（2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程，【详解】（1）设的方程为，由直线过得，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，所以直线的斜率存在，可设直线的方程为，所以，，所以，，所以，当且仅当时取等号，此时，此时直线的方程为，的最小值为4.48．（2023秋·高二课时练习）求过点且与原点距离最大的直线l的方程．【答案】．【分析】根据直线的垂直关系求得直线l的斜率，由直线的点斜式方程即可求得答案.【详解】设原点为O，过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与垂直的直线，由,，得，所以，所以直线l的方程为，即.考点八直线与坐标轴形成三角形问题49．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．【答案】(1)，此时直线的方程为．(2)(3)【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程；（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．【详解】（1）依题意设，，，设直线的方程为，代入得，所以，则，当且仅当，即、时取等号，从而，当且仅当，即、时取等号，此时直线的方程为，即，所以，此时直线的方程为．（2）由（1）可得，所以，当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为，即．（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，令，解得，令，解得，所以，，则，当且仅当，即，即时，取最小值，此时直线的方程为．50．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程.【答案】或【分析】依题意设所求直线的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得解.【详解】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为，由已知可得，解得或，所以或，故直线的方程为或．51．（2023·高二课时练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有条.【答案】【分析】设直线的截距式为，即可得到，解得即可.【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为，∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，∴，解得，或，或，所以直线的条数为条．故答案为：52．（2023·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．【答案】或.【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.【详解】解∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为，则直线方程为，即.，即，，∴直线方程为.若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，故直线方程为，即.∵，即，，直线方程为.综上所述，直线的方程为或.53．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程．【答案】x＋2y－4＝0【分析】方法一：设直线的方程为，则，然后表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线的方程，方法二：设直线：，则，然后利用基本不等式可得，从而可求出其最小值，进而可求出直线的方程.【详解】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，则，所以，当且仅当，即时，取等号，故直线的方程为，即.方法二：设直线：，因为直线l过点，所以，则，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时，故直线的方程为，即.54．（2023秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程;（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.【详解】（1）作，则.由三角形相似，，可求得，，∴方程为，即；（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，∵l过点，∴，解得，∴的面积，化简，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值为4，将代入①式，得，解得，∴.∴直线l的方程为.55．（2023秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.【答案】(1)或.(2)(3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.（2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.（3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程.【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.综上所述，直线的方程为或.（2）,∵不经过第二象限,∴,解得.∴实数的取值范围是.（3）令,解得,解得;令,解得,解得或.综上有.∴,当且仅当时取等号.∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即考点九动直线所过定点问题56．（2023秋·高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直线方程为，根据题意，即可求得结果.【详解】把直线方程整理为，令，故，所以直线恒过定点为.故选：C.57．（2023秋·北京昌平·高二昌平一中校考期中）直线过定点为．【答案】【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.【详解】直线可化为点斜式，所以直线过定点.故答案为：.58．（2023秋·高二课时练习）不论m取何值，直线都过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意整理得，令，求解即可得定点.【详解】因为，整理得，令，解得，所以直线过定点.故选：B.59．（2023秋·高二课时练习）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直线方程可化为，再解方程组即可.【详解】直线方程可化为，解方程组，得，即定点的坐标为.故选：A.60．（2023春·吉林长春·高二校考开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线方程即，一定经过和的交点，联立方程组可求定点的坐标．【详解】直线即，根据的任意性可得，解得，不论取什么实数时，直线都经过一个定点．故选：B61．（2023·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第象限．【答案】四【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可.【详解】直线可化为，由，得，所以直线恒过定点，因为在第四象限，故直线恒过第四象限．故答案为：四.62．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）当点到直线的距离取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.【详解】将直线转化为，联立方程组，解得，所以直线经过定点，当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，此时，解得.故选：C.63．（2023秋·高二课时练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】直线过点.如图，

由题意，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范围是.故选：D.64．（2023