北理848电子版课件第十章

1§10.8

应力应变关系应力应变关系的影响因素应力和应变是研究变形体静力学的两组基本物理量，应力的概念是纯静

力学的，应变的概念是纯几何的，它们对任何的连续介质（固体、液体、气体）都是适用的。但是，应力和应变之间的关系却是依不同材料、受力变形范围及环境因素而变化的，且只能在实验的基础上建立它们之间的关系。线弹性材料在变形体静力学中，研究的对象仅限于线弹性固体材料，应力应变关系是唯一确定的线性关系。应力应变的线性关系是某些材料在受力变形的一定范围内才能满足。实际上，工程中应用的大多数金属材料在小变形范围内都是线弹性材料。胡克定律材料的单向拉伸及纯剪切试验表明：对于线弹性材料，当应力<比例极限s

P（或tP）时，2syz正应力与相应方向上产生的正应变成正比；剪应力与相应方向上产生的剪应变成正比。s

=

Eet

=

Gg(10.68)(10.69)其中

E——弹性模量，G——切变模量，量纲为

[力][长度]-2

，单位GPa。具体数值由材料试验测定。泊松比nee(10.70)的符号相反。e

=

-ne“-”号表示e

和sx外，还可如图所示。纵向与横向两者之间的比例关系为一材料常数n，称为泊松比。在单向拉伸试验中，除了在正应力s

方向上产生拉伸正应变以观察到在垂直于正应力s

的方向上分别会产生横向收缩正应变e

，3各向同性线弹性材料对于各向同性线弹性材料，处于复杂应力状态下的应力应变关系可以借助于叠加原理，并利用s

=Ee，t

=Gg，e

=-ne

得出。实际上，对于各向同性材料而言，每一点处的正应变只与该点的正应力有关；每一点处的剪应变只与该点的剪应力有关。这两组应力应变关系（指在同一坐标系下的分量关系）是彼此无关，互不耦合的。广义胡克定律y

zx

xE-n(se

=

1

[s

+s

)]xzyyE+s

)]-n(se

=

1

[syxzzE+

s

)]-n(se

=

1

[s(10.71)(10.72)Gxytxyg

=Gyztyzg

=Gzxg=

tzx(10.74)(10.75)(10.76)(10.73)广义胡克定律4以主应力和主应变表示的广义胡克定律2

31

1e

=

1

[s

-n(s

+s

)]E22-n(s

3

+s1)]e

=

1

[sE3

3-n(s1

+s

2

)]e

=

1

[sE(10.77)(10.78)(10.79)e1

‡

e2

‡

e3

s1

‡

s

2

‡

s3

\材料常数E,G,n

的关系广义胡克定律中出现了3个材料弹性常数。对于各向同性线材料，3个材料常数不是独立的，满足关系2(1

+n)EG

=(10.80)（证明见例题10.3）5体积应变123abc弹性变形往往伴随着体积的变化。某点处主轴方向为1-2-3，如图在该点处切取一主单元体，变形前各边长为a,b,c，体积为V

=abc变形后各边长为a

+Da,b

+Db,c

+Dc，体积为V

+DV则

V

+

DV

=

(a

+

Da)(b

+

Db)(c

+

Dc)（展开，略去高阶小量）1

2

3Vq

=

DV

=

e

+

e

+

e(10.81)a

b

c=

abc(1+

Da

)(1+

Db

)(1+

Dc

)=

abc(1+e1)(1+e2

)(1+e3

)»

abc(1+e1

+e2

+e3

)DV

=

abc(e1

+

e2

+

e3

)某点处单元体的单位体积改变量称为体积应变，记为q

。6则321q

=

1

-

2n

(s

+sE考虑广义胡克定律131[s1

-n(s

2

+s

)](10.77)e

=E112[s

2

-n(s3

+s

)(10.78)e

=E123[s3

-n(s1

+s

)](10.79)e

=E+s

)

(10.82)31

2

3m令

s=

1

(s

+

s

+s

)（3个主应力的平均值）故mEq

=

3(1

-

2n)

s(10.83)(10.84)应力互换定律如图所示，从平面应力状态的某点切取角度为a

、厚度为单位1的直角楔体微元。dAABCatpnp

7s

p

nq

qsqtsrrt

Fnp=

0

:

s

P

dAcosa

+tr

dAsin

a

-(sq

dA)

cosa

+

(tqdA)

sin

a

=

0tr

=

tp

-s

P

cosa

-tr

sin

a

=

-s

q

cosa

+tq

sin

a-s

P

cosa

-tp

sin

a

=

-s

q

cosa

+tq

sin

a令

Tpq

=

-s

P

cosa

-tp

sin

ap面上的应力矢量在q面外法线nq

上的投影