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文档简介
初二数学(培优)
第7锦平方根
月日姓名:
【当打目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念,并且会用根号表示;
2、会进行有关平方根和算术平方根的运算;
3、理解算术平方根与平方根的区别和联系,培养同学们的抽象概括能力。
【笈钠要点】
1、算术平方根:如果一个正数x的平方等于。,即x2=。,那么这个正数x就叫做a的算
术平方根,记作,读作“根号
注意:(1)规定。的算术平方根为0,即、/6=0:
(2)负数没有算术平方根,也就是行有意义时,。一定表示一个非负数;
(3)Ja>0(a>0)»
2、平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根
(也叫二次方根)。
注意:(1)一个正数。必须有两个平方根,一个是a的算术平方根“后”,另外一个是“-G”,
读作“负根号a”,它们互为相反数;
(2)0只有一个平方根,是它本身;
(3)负数没有平方根。
3、开平方:求一个数a的平方根的运算。其中a叫做被开方数。
47=\a\=[a("-0)
(4a)2=a(a>0)
观察二者的特征,注意他们的区别与联系。
【典型例驳】
例1、求下列各数的算术平方根与平方根
(1)52(2)100(3)1
暑假培优教材\
初二数学Z培优
I
X
2
4
5
4
5
+
+
-
--
9
36
多少?
范围是
的取值
时,a
意义
二有
当等
例4、
2
J”
2
优教材
暑假培
初二数学培优)
【经典称灯】
1、求下列各数的算术平方根和平方根
,、121
(1)16(2)——(3)12
225
(4)0.01(5)(-5)2
3、判断
(1)-5?的平方根为一5()
(2)正数的平方根有两个,它们是互为相反数()
(3)0和负数没有平方根()
(4)4是2的算术平方根()
(5)百的平方根是土3()
暑假培优教材3
初二数学(培优)
(6)因为-L的平方根是土L所以1_=土_1
()
164V164
4、J1—x—V2x-1有意乂,则x的范围
5、如果a(a>0)的平方根是土m,那么()
A.a-±mB.a二土层C.\[a=±mD.土-Ja=±m
【锦后作业】
1、下列各数中没有平方根的数是()
A.-(-2)3B.3TC.aD.一(才+1)
2、肝等于()
A.aB.-aC.±aD.以上答案都不对
3、若正方形的边长是a,面积为S,那么()
A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根
C.a=±J?D.9瓜
4、当x时,Jl-3x是二次根式.
5、要使立亘有意义,则x的范围为
x—2
6、计算
(2)^32+42
i己——t己
102=100II2==121122=144132=169
142=196152:=225162=256172=289
暑假培优教材4
初二数学(培优)
182=324192=361202=400252=625
第6饼立方根
月日姓名:
【皆行目粽】
i.掌握立方根的概念,并会用根号表示一个数的立方根。
2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根,并理解两者之间的互逆关系,同时掌握
立方根与平方根的区别。
3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。
4.会用立方根解决简单的实际应用问题,提高学生的应用能力。
【笈钠要点】
1、立方根的概念:如果一个数x的立方等于a,即1=a,那么这个数x就叫做a的立方根(或叫做三次
方根)。
2、立方与立方根的关系:若有x:'=a成立,则a是x的立方,x就是a的立方根。
注:任何数均有立方根,立方根是唯一的;任何数不一定有平方根,平方根是不唯一的。
3、开立方的概念:求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数。
注:=a,(V«)3=a
4、正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数
注:正数的立方根大于负数的立方根,0是介于两者之间。
【典型例观】
例1、(1)由于(—3)3的-27,则是的立方根。
暑假培优教材5
初二数学(培优)
(2)若〃成立,则是的立方:是的立方根。
例2、(1)2的立方等于多少?是否有其他的数,他的立方等于8?
(2)—3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是一27?
例3、求下列各数的立方根
3
(1)512(2)-3-(3)0(4)-0.216
8
例4、比较三个数的大小:V^59,0,V6
例5、若Ja+4+性—12|=0,则疝工的立方根是多少?
★例6、已知x=y〃?+〃+3是m+n+3的算术平方根,^m~2n+fm+2n是m+2n的立方根,求y-x的立方
根.
暑假培优教材6
初二数学(培优)
【经尊称灯】姓名/氏楂:
一、填空题:
1、若(0.5)3=0.125,则是的立方根.
2、64的立方根是.
3、-V二忑的立方根是
二、判断并加以说明.
1、―」的立方根是土,;()
82
2、—5没有立方根:()
3、----的立方根是一;()
2166
2Q
4、----是-----的立方根:()
9729
5、负数没有平方根和立方根;()
6、a的三次方根是负数,a必是负数;()
7、立方根等于它本身的数只能是。或1;()
8、如果x的立方根是—2,那么x=—8;()
9.—5的立方根是一六;()
10、-一匚的立方根是没有意义;()
216
11、一」-的立方根是一工;()
273
三、选择题:
1、8的立方根是()
A、2B、-2C、4D、+2
2、V64的立方根是().
A、16B、V?C、4D、8
3、计算后-我的结果是().
A.3B.7C.-3D.-7
4.下列叙述正确的是().
暑假培优教材7
初二数学(培优)
A.正是7的一个立方根B.(gl)的立方是11
C.如果x有算术平方根,则x>0D.如果x有平方根,它一定有立方根
四、计算题
1、己知+64+|/-27卜0,求(a+b)”的立方根。
★2、若3x+l的平方根是±4,求9x+19的立方根.
【锦后作业】四名—成横家衣签名
一、判断题:
1255
1、—的立方根是+2()
7299
2、负数没有立方根)
3、-47是-7的立方根)
4、若丘=/,则x=y)
5、若xNy,则正之苏()
选择题
1、若m<0,则m的立方根是()
A、\[mB、-y[mC、+\[mD、\J-rn
2、如果遥二1是6-x的立方根,那么()
A、x<6B、x=6C、x<6D、K是任意实数
三、填空题
1、若x<0,=
暑假培优教材8
初二数学(培优)
2、比较大小:V2—口
3、(-4)2的算术平方根与(-4尸的立方根的乘积是
4、若x=(H?)3,则J-x-l=
四、求下列各数的立方根.
(1)-1(2)—(3)-343(4)15-
10008
五、能力拓展题。
已知7+"T=a+b,7—JTT=c+d,(a,c为整数,为正的纯小数),求b+d的平方根。
第7稀年方根加之方根的应用
月曰姓名:
【当灯目标】
1、进一步了解理解平方根,算术平方根,立方根和开立方的概念;
2、会用根号表示一个数的平方根,算术平方根,立方根,掌握三者的基本运算以及它们与相反数、
倒数、绝对值相结合的简单运算;熟练掌握一些基本数的平方和立方,以便解决开平方和开立方
的运算。
3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用,让学生知道数学来源于实际生活,增强学生数学的
学习兴趣。
【笈徂要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系:
(1)区别:
A、根指数不同:平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指数为3,且不能省略不
暑假培优教材9
初二数学(培优)
写。
B、被开方的取值范围不同:平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以是任何
数。
C、结果不同:平方根的结果除0之外,有两个互为相反的结果;算术平方根只有一个,且
是正数;立方根的结果只有一。
(2)联系:二者都是与乘方运算互为逆运算。
特别注意:("y=a=|a|=a(V«)3=a
2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。
3、比较两个无理数的大小:(1)a>h>0<^Ja>4b
(2)a>b=&>&或a3>h3
4、含有二次根号式子取最小值时,当且仅当被开方数为0,且被开方数为非负数有意义。
5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。
【算型例驳】
例1、下列说法,正确的有()
(1)只有非负数才有平方根和立方根;(2)如果a有立方根,那么a一定是正数;(3)如果a没
有平方根,那么a一定是负数;(4)立方根等于它本身的数是0;
(5)一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A.1个B2个C3个D4
例2、a.由于4,=64,则是的立方;是____的立方根。
b.若一a>0,贝I("^)2=;=
例3、百一1的相反数是;-血的绝对值是;玳彳的倒数是。
例4、A.若a=-五*,b=-|-72|,c=-W(-2)3,则a^b^c的大小关系是().
A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a
暑假培优教材10
初二数学(培优)
B.比较大小:VL54;V3m2+1Kim2-2;啦
例5、多项选择题:下列各数没有算术平方根的是(),有立方根的是()
A.-(-2)B.(-3)3C.TT:O7D.11.1
例6、如果^/^?+1有意义,则x可以取的最小整数为,若有意义,最小值是
例7、A、解方程(2x—1)3=—8
B、若J)+|b-8卜0,则6"的立方根是多少?
【经典称幻】原名,戚楂,
一、判断题
(1)只有正数才有平方根、算术平方根和立方根;()
(2)如果a没有平方根,那么a也没有立方根:)
(3)如果a有立方根,那么a也有平方根;)
(4)算术平方根等于它本身的数为0;()
(5)a的三次方根是负数,a必是负数;)
4
(6)34—M3—()
63V63
二、填空题
1、廊的平方根是,V?的算术平方根是102的算术平方根是
暑假培优教材11
初二数学(培优)
2、而f+2的最小值是,此时a的取值是一
3、若一个正数的平方根是2〃-1和-。+2,则。=,这个正数是
4、当加时,VT而有意义;当加时,标与有意义;
5、5-五的相反数是;-正的倒数是;
三、选择题
1、2x+l的算术平方根是2,则》=()
A.--B.-C.-D.--
2222
2、若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是()
A.0B.1C.0和1D.-1和1
3、若-a-b>0,则J(a+b)2=().
A.-a-bB.a+bC.a-bD.\a-^-b\
4、比较大小:A.若a=-J(-5)2,b=-I-1c二-a-2户,则a、b、c的大小关系是().
A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a
5、若a<0,则下列各数有平方根的是()
A.~ciB.—da~C.—ci~
D.
四、计算题
1、解方程:(1)4(x+l)=8(2)8(1-x)3=27
2、若。>0,,。2_4+32_3卜0成立,则2。的算术平方根、平方根及立方根分别是多少?
暑假培优教材12
初数学(培优)
【僻后作业】姓名成楂家衣签名
一、判断题:
1、下列说法中正确的是()
A、一4没有立方根B、1的立方根是±1
c、的立方根是D、一5的立方根是8?
366
2、在下列各式中:<2—=-Vo.ooi=0.1,Vo^oT=0.1,一,(—27)3=-27,其中正确的个数是
V273
()
A.1B.2C.3D.4
3、下列说法中,正确的是()
A、一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数
B、一个有理数的立方根,不是正数就是负数
C、负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是一1,0,1
4、若有意义,则爪=
.判断下列各式是否正确成立.
⑴若IaI>仇则a2>b2)
若0>&,则〃>6,且a3>b3()
3
⑵=V3・)
V26V26
填空题
1、平方根是它本身的数是—;立方根是其本身的数是—;算术平方根是其本身的数是.
2、若aVO,贝!
3、若1=1,贝二
暑假培优教材13
初二数学(培优)
4、”的5次方根是.
5、若±4a=ifa,则a是。
6、一0.008的立方根的平方等于.
四、解方程(x-l)3=--.
64
第巽并实微
月日姓名:
【皆打目标】
1、了解实数的意义,能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义,了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
理解数轴上的点与实数一一对应关系,并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。
3、能利用化简对实数进行简单的四则运算。在探索分类、化简、运算的过程中,获得解决问题的方
法和经验。
【知/要点】
1、实数的概念:有理数和无理数统称为实数,实数有两种分类方法。
按定义分:实数可以分为有理数和无理数:整数和分数都是有理数,即有限小数或无限循环小数:
无理数是无限不循环小数
暑假培优教材14
初二数学(培优)
按正负分:实数可以分为正实数、0、负实数:正实数分为正有理数和正无理数:正有理数分为正整
数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数;负有理数分为负整数和负分数。
注:(1)对实数进行分类时,可以有不同的方法,但要按同一标准,做到不重不漏。
(2)n也是无理数
2、实数的性质(重点):有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
(1)a与。互为相反数=。+6=0,且互为相反数的两个数的绝对值相等。
(2)a与6互为倒数oab=l,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,零没有倒数。
(3)绝对值的非负性:同之0
3、比较两个实数的大小:做差法;平方法;取近似值法;倒数法
在数轴上,右边的数总比左边的数大;正数大于负数;正数大于0;负数小于0;两个负数相比较,
绝对值大的反而小。
4、实数的四则运算及化简
注:(1)有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用(交换律、结合律、分配律)
(2)化简遵循无理数的化简原则,一直化为最简的为止。
【粪型例敢】
例1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内:V2,1,V7,V9,n,
4
--,V2,J--V5-V8,0,J-,0.37377377737777…,0.373773773773773…
2V3V9
有理数集合:__________________________________________________________________
无理数集合:__________________________________________________________________
正数集合:___________________________________________________________________
负数集合:___________________________________________________________________
例2、(1)--的相反数是,倒数是,绝对值是;
2
(2)在数轴上离原点距离是逐的点表示的数是.
(3)-125的立方根是,±8的立方根是一,0的立方根是。正数的立方根是—数;
负数的立方根是—数;0的立方根是O
例3、比较下列各组数的大小:
暑假培优教材15
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(1)—石+1与一行+1(2)3行与2&I
(3)旧-屈与屈-用(4)——与---
2V24
例4、计算下列各式
一、V3xV8
(U—广—(2)(V3-V2)(V3+V2)
V6
(3)7(-4)2-VF+A/82+62-7132-52(4)(VT+近了(5-2V6")
例5、若y=J2-x+Jx-2-1,则X」是多少?
暑假培优教材16
初二数学(培优)
【经粪体灯】
1、填空题
(1)、在数轴上表示与V3的点距离最近的整数点表示的数是。
(2)、已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是痣和2,则48=。
(3)、若卜+=0,则(盯了00:1.
(4)、计算:V18-(V2+1)=。
★(5).已知A48c的三边长为a,b,c,且a和6满足+〃一46+4=0,则c的取值范围
为.
2、比较下列各组数大小
⑴71^12(2)^―1-0.5⑶乃3.14
2——
3、已知",”为实数,且|七一A/J|+J〃2=0,求zn”
4、已知J2Txi+J1-3=0,且|x-y|=y-x,求x+y的值.
【锦后作业】
一、填空题
1、一个的算术平方根是8,则这个的立方根的相反数是
2、若》2=64,则3«=.
暑假培优教材17
初二数学(培优)
3、行的相反数是;绝对值是.
4、化简(1)12—右|=;(2)|3-TZ-|=.
5、若以,6互为相反数,互为倒数,则以+乙+场=.
6、比较大小:(1)7痴6";⑵1一后1-也;
7、已知J7=T+Jj二1有意义,则x的平方根为。
8、已知—5|+Jy+6+(z+8)-=0,求3x+y—z+1的值_
9、若h一6+1|与Ja+2b+4互为相反数,则(a+b)20°6=。
二、解答题
1、已知x、y为实数,且y=&-9-497+4.求4+J7的值.
三、计算题
(2)(V8+713)(78-713)
(3)(5-V3)2+(l+V3)(V3-8)
第1讲二次根式的化简
月日姓名:
【老灯目标】
1、本节的重难点是肝的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行,而行的化简不但
涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质,还要牵涉到绝对值以及各
种非负数、因式分解等知识,在应用中常常需要对字母进行分类讨论。
暑假培优教材18
初二数学(培优)
2、能够利用二次根式的性质化简二次根式,且结果为最简二次根式。
3、通过二次根式的学习,让学生形成分类讨论的数学思想与方法。
【扣但要点】
1、二次根式的重要性质:
注1:式子中籽=时中的&可以取任意实数,同时注意与(Ji)?的区别。
注2:必=同中a既可以是单个数字,单个字母,单项式,也可以是可进行因式分解的多项式,等
等,总之它是一个整体概念。
2、最简二次根式的概念:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式;
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式的概念:几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,则这几个二次根
式成为同类二次根式
【典型例敢】
例1、计算下列各题,并回答以下问题:
1、各小题中被开方数的幕的底数都是什么数?
2、各小题的结果和相应的被开方数的暴的底数有什么关系?
3、用字母a表示被开方数的事的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论。
例2、填空题
暑假培优教材19
初二数学(培优)
1、当a_________时,
叵叵
2、当a>0时,a当时,a
3、若[(4—1)2=]一」,则a
4、当a<0时,/&
5、当a+2〈0时,J4?+4a+4的化简结果是
6、耳化为最简二次根式是
例3、选择题
(1)如果J二彳=x成立,那么()
(A)x=0(B)x<0(C)x,0(D)xWO
(2)下列各式中正确的是()
(A)QT=|a|-1(B)(诉
(C)4(a+b)~=a+b(口)y]a4=cr
(3)下列各组中,是同类二次根式的是()
(A)后与遥(B也与亚(C)6与&(D)也与屈
例4、(1)化简13242(a<0)
(2)若l<a<2,化简Jq--2a+1+1(7—2|
暑假培优教材20
初二数学(培优)
(3)化简J+8x+16—VX~—2x+1(—4<x<l)
【经典称灯】膜名,成楂,
一、填空题
1、当a时,(JZ)2=a成立。
2、J(X_2)2=
3、若a>c,则小(c-a)2-
4、若a>g,则(J3"4)2=
5、若a<0,则2a-dcr+3同=
二、选择题
★1、若J而是整数,则正整数〃的最小值为()
Ax3B、4C、5D、6
2、“6一5¥+卜—百|化简的结果为()
A、4B、273-6C、6-273D、6
3、若。=百二?(〃20)是整数,则。的值是()
A、0B、1C、9D、0和9
三、化简题
1、若a<b<0,请化简:_|a+b|_2j(a_b)2
暑假培优教材21
初二数学(培优)
2、实数。,6在数轴上所对应的点的位置如图(1)所示,化简|b_a|_J(a+b)2
~a0b
图⑴
★3、已知。、b、C为△ABC的三边长,请化简J(4—6—0厂一J(C+a—/))?o
【锦后作业】姓名____6g横_____家衣签名_____
一、选择题
1、(Ja_1)=。一1成立的条件是:()
A.。W1B.a>\C.a<\D.a<\
2、把化成最简二次根式结果为:()
V27
暑假培优教材22
初二数学(培优)
3、已知t<l,化简1—t—,\lt'—2/+1得:()
A.2—2/B.2tC.2D.0
4、下列各式中,正确的是:()
A.(-V7)2B.J(-0.7『=0.7
=-7
2
C.(-V7)=72D.(V-0.7)-=0.7
二、指出下列各组中,哪些数是最简二次根式,哪几个数又是一组同类二次根式?
V2V27V3V125V8V5V6V18V12
、、、、、、、、
思考题:★]、若J而是整数,则正整数〃的最小值为()
A、3B、4C、5D、6
第M饼台母/理化
月曰姓名:
【当灯目标】
1、使学生掌握分母有理化概念,并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算题;
2、让学生能够进一步学习二次根式的化简,对二次根式化简有进一步的认识,使化简进
暑假培优教材23
初二数学(培优)
一步完善。
3、本节的主要内容是二次根式的乘除法的巩固以及分母有理化。这在二次根式的化简和运
算的运用中是关键,从化简与运算又引出初中重要的内容之一:分母有理化,分母有理
化的理解决定了最简二次根式化简的最终的掌握程度。
4、通过二次根式的分母有理化,培养学生的运算能力.
【加钠要点】
1、分母有理化的概念:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2、有理化因式的概念:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,
就说这两个代数式互为有理化因式。
注:二次根式的有理化因式不是唯一的,它们可以相差一个倍数。
3、熟记一些常见的有理化因式:右的有理化因式是J3;。+〃痣的有理化因式是。-〃、历;&+J3
的有理化因式是“及+〃“'的有理化因式是“及-〃〃';加土布的有理化因式是
+y[ab+\[b^.
【算型例敢】
例1、找出下列各式的有理化因式。
Ja+b5+2,y/3—3>f2a—Jx?—a~(x>a)
例2、将下列各式分母有理化。
ajb♦by/a
(4)
例3、化简下列各式
⑴石♦Ja♦1ajb♦by/a
(2)
G-Ja.[4^
暑假培优教材24
⑸2*卜2闾⑹°百.2市)+(2j.3⑸
例4、已知x-----二-,求2
X-6x+2的值。
3+2点x-3
【经粪炼行】膜名,鼠殖,
1、找出下列各式的有理化因式。
(1)2V2-3V3(2)4ab(3)2Vx-l(4)后+而
2、将下列各式分母有理化
暑假培优教材25
初二数学(培优)
V2
⑵邛(3)1-^-b(bwl)
(1)「
3-V33+2V2l-Jh
3、化简下列各式。
1
—V3
4、已知x=抵+百,丫=亚_
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