高等数学复习第12章微分方程2012版

第十二章微分方程一、教学目标及基本要求构，并知道n阶线性方程的通解与有类似的结构。16f(xf1x二、本章各节教学内容及学时分配

f2(x)的二阶常系数非齐次第二节可分离变量的微分方 学第三节齐次方 学第四节一阶线性微分方 学第五节全微分方 学第六节可降阶的高阶微分方 学第七节高阶线性微分方 学第八节常系数齐次微分方 学第九节常系数非齐次微分方 学三、本章教学内容的重点和难点四、本章教学内容的深化和拓宽：6、方程1、 高等数学同步精讲（下册）学苑2、等 高等数学全程指导（下册）沈 东学3、黄光谷等编高等数学学习指导与习题解析（下册）第二版、华技大学2002解下列方程（1-6题1、(1xyyx,y(0)2f(xexe

xfx2dx,f03 sin2yy2xsin2ye4、y43x2dyxydx5y2xy20,y(0)1,y(0)26yxyy7f(x满足xf(x)dxf(x1求f(1)和f(x1f2(x)8、已知1f(ax)da1f(x)1,f可微求f(x 9、求与曲线族2x23y2C相交成45D10100L10kg3L的作业第一节微分方程的基一、内容要点：二、教学要求和讲稿内是一个函数，这类方程称为函数方程。如高等数学中隐函数问1已知一条曲线过点(0,1，且在该曲线上任意点M(xy为2x2x，y(0)解：yy(x yx2c（c为任意常数），把条件y(0)1代入上式得c1 yx2例2 设质量为m的物体，在时间t0时自由下落，在空气中受到的阻力建立运动方程：设 为物体下落的距离，于是物体下落的速度和加速度 d2别为v和a，根第二定律Fma，可列出方 dtmd2 mmg

dt kdx我们现在只考虑k0的情形，即物体在真空中下落无阻力，此时(1.2)d2 dt为了求出物体下落的距离，将上式积分两次，得到x1gt2ct 其中c1及c2为两个常数，考虑自由下落物体的初始状态，由于选取物体的初始位置为坐标原点，所以x(0)0，又由于物体为自由下落，所以初始速度vx/(0)0，将这两个条件代入上述两式，可解得 ，

00c0，于是，自由下落物体的距离

x1gt 例 0将物体放置于空气中，在时刻t0时，测量得它的温度为u150DC01a分钟后测量得温度为u100DC，我们要求决定此物理体的温度u和时间t的关系，并计算20分钟后物体的温度。假设此时空气的温度保持为u24DC。1a设t时物体的温度为u(t，则温度的变化速度可以表示为dudt总从高到低，因此

dt0duk(u(t)u a求解该方程得u(t) ektaut0u0150,ut10u1得u24t却与空气中的温度一样。事实上，当t3小时，u24.01DC，与空气的温度几微分方程含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程又分dyp(xy2q(xyr(x)（Riccati方程x2yxyx2n2y0（nBessel方程y'p(xyq(xyn(n0,1（Bernoulli方程y/xy，(t2x)dtxdx0，y//2y/3yex，y(3)y(4)2(y)3lnxu u 2u2u2u y 0，

0（Lace方程微分方程的阶方程中含有未知函数的导数的最高阶数。如上面例子。一阶常微分方程的一般形式可以表为：F(x,y,y0（隐式方程）如果能对y′解出，则得到方程：y/f(x,y)（显式方程） M(x,y)dxN(x,y)dy0 n阶显式方程的一般形式记 y(n)f(x,y,y/,y(n1)线性和非线性若微分方程对未知函数及其出现的各阶导数而言是一次1线性微分方程的一般形式为y(n)a(x)y(n1)1

(x)yan(x)yf微分方程的解y(x)在区间(ab1至n阶导数(t),(t),"(n(t)存在，若x(ab)F(x,(x),",(n(x))0y(x(abF(x,y,y/,y//,y(n))0(ab)y(x yc1cosxc2sinx是二阶微分方程y//y0 ,+例y2x2cx是2xyy/x2y25微分方程的通解在微分方程的解中，有些含有任意常数，有些不含任意常数。把含有n个相互独立的任意常数c1c2c3cny(xc1c2cn，称为n微分方程的通解。不含任意常数的解，称为微分方程的特解。4ycexy/yyc1sinxc2cosxy″+y=0初值问题微分方程解的存在性和唯一性是微分方程理论的问题，由于 y(x)y,y/(x)y,y( 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题。n阶微分方程的初值 F(x,y,y/,y(n))y(x)y,y/(x)y,y(n1)

0)5y//y0y()

1,y/

)14yc1sinxc2cosxy/c1cosxc2sinxc c c c ：c10,c2 2cos积分曲线为了便于研究方程的解的性质，我们常考虑方程解的图形，并且称之为微分方程的积分曲线，以后只为叙述简便，我们对解和积分曲线这两y2xyx2c表示以c为参数y/2xy(01yx21表示过(0,1)的那条积分曲线。一、内容要点

二、教学要求和注意问题：(x)dx通常只表示一个原函数，积分常数C有时写成讲稿内容：yf(x,y；或写为对称的形式P(x,y)dxQ(x,y)dy0.yf(x)dx

f 直接积分型例求dy

dy2xy

f(x)gy)或

(x)N1(y)dx

2

(ydy0程称为可分离变量的微分方程dy2xy例yxyex2lny求sec2xtanydxsec2ytanxdy0的通解。例dy10xy的通解。求微分方程cosydx1ex)sinydy0

4 1exdxtanydy01exdxtanydy0ln(1通解为1exccosy，代入初始条件得c

)lncosyln特解为1ex22cosy

x(ts)x(t)1解在已知式子中，令t0x(0)x(t)x(s)x(t)limx(ts)x(t)lim1limx(s)

1x2

limx(s)x(0)

1x2 1 1 1x2

dx两边积分得arctanx(t)x(0)tx(0)0可求得C0x(ttanx(0)t例（例某些方程不是可分离变量的方程，但可作代换化为可分离变量的微程3dy

x2

的通解解令ux2y，代入原方程得duu x2y2cey xyyy解：方程变形为(xy)yln(xy)xyuduulnu ycos(yyxudu1cosu dx1cosudu cosu sin2cotucscuxCcot(yx)csc(yx)xdyx124y1)28xy解dyx4y)22(x4ydyx4y1)2令x4y1u，则1(du1)u22 积分

423arctan3u4xC13(x4y1)tan(6x1 已知(tx)dtn(x)，求0 1 解：已知方程左端，令txu，则(tx)dtx(u)du，从而原方程可 x为nx(x(u)dunx(xn(x)(x，即有(x)0nx(x(1n)(x)，解得(x)Cxn内容要点：

次讲稿内f(齐次方程(HomogeneousEquations)：f(

g( 或M(xy)dxN(xy)dy0，其中M(xyN(xy为同次齐次函数。齐次函数：若M(txtytkM(xy，则称M(xy)为k次齐次函数。

f(令u

yyx

y则y/xu/u，将它代入方程y/ f()中，得xxu/uf(u)xu/f(u)u f(u)

1dx例1 求解2xyy/x2y2 原方程可变形

y/x2y

x2 yuyxuyx

uxu，代入上式得：u/u2分离变量：2u u2du1 再积分：lnu21lnxlnc，即u21x y2x2例 求解方程

x2y 原方程变形dy

y(0) x2yuyuxyx则原方程变为uxu/

uxu/ u即xdu 1u 1u1u x分离变量：u duxdx(u3u)dux2u

lnulnxlncx2 2通解为y y2，又 y(0)1，所以c1，故所求之解为ye22另解：原方程可

dxx2y2dxxy xvxyvdxvydv (vydvv11dyvdvlny1v2clny1 x2c 2y(例求解微分方程ydx(x x2y2)dy0可化为齐次的方

dyaxby

a1xb1ycc10，方程（A） bk（x,y的对应系数成比例）或写为 b

此时方程（A）变为dyk(a1xb1y)cf(axb 1 axby 作代换axbyu，（B）duabf(u

0，及cc1

xXyYdxdXdydY，方程（A）dY

aXbYabca1Xb1Ya1b1c1

abc 要使上方程为齐次方程，只需ab

0，有唯一解，所作代换将（A）由推导过程知该类方程的求解步骤为： 。求解方程组abc abc 2xXyY3。方程（A）变为

aXbYa1X

3y/xyxy

f(axbyca1xb1yxy1 x 令xy3 y xX

dYX作变换yY2代入原方程

XX

uYuX可将方程化为X

1u1

即11u

duXdu du 1dX，arctgu1ln(1u2)lnXln1u 1u 即 cY

X

atctg用uX

X(x1),Yy2cearctgyxdy

y62x。2xy5x2y y62x 1dy3y62x xy2(2y3 3 x(2y3

13

u22x2uxx通解为(2xy333xy57

2x33xy23x2y2y3y

2x23y21dy

2x23y2x

3x22y2 dx

3x22y2x2uy2vdv2u3v1 3u2v一、内容要点

第四节导出线性非齐次一阶方程的求通解以后，可顺利导出满足条件y(x0)y0的特解，还应两点：第一，当P(x),Q(x),C时，线性方程的凑微分或令y1nz解伯努利方程。二、教学要求和讲稿内我们知道ny(n)a(x)y(n1)"a(x)yfn当n1yp(xyq(x——称为一阶线性微分方程其中自由项q(x)0时，称为一阶线性非齐次微分方程；当q(x0时，称为一阶线性齐次微分方程由于齐线性与非齐线性方程的左端一样，我们先考虑线性齐次方程y'p(xy0y0dyylnyp(x)dxlnc，即ycepx)dxy0不论c取怎样的常数，ycepx)dxy'p(xyq(x解，将其常数c改为函数c(x)，设yc(x)p( 则yc'(x)epx)dxc(xp(x)ep将这两式代入非齐次方程得：c'(x)q(x)ep积分得：c(x)q(x)epx)dxdx非齐方程的通解：yepx)dx(q(x)epx)dxdx若把上式改写为两项之和得：ycepx)dxepx)dxq(x)ep易知右端第一项是齐次方程的通解，可验证第二项是非齐次方程的一个特dxpy)xqxepy)dy(Cqy)epydy

2x

(x1) 因为p(x)p(

xp(

q(x)(x1)

52y

(5

dxc)

x

((x1)2

dx (x1)2(x1)2(x1)2dxc (x1)2(x1)2dxc(x1)2 (x1)2c 1) 例求解方程(x dynye1)

(x

yex(x xndx n yex1Cex(x1)n

x1dx(x1)n(exdy

2xy 2dy

2 方程： xy，通解为xe

C

ydyy2(Clny

例（）求解方程(y3xy)y1,y(0)dxyxy3

dxyxy所以xep(y)dy(qy)ep(y)dydyc)eydy(y3eydydyy y y y ye2(y3e2dyc)e2(y2e22ye2dyye2(y

y2

y2

yy22cey(0)0，可得cyx2e2y2例求解方程(x2xyy2dyy2dx解dx12yx1xCy2e1yy2 y有些方程虽不是线性方程，但可作代换化为线性方程。例求解方程(1x2)sin2ydyxcos2y2x 0解：注

dcos2ysin2y原方程可化为1x2dcos2

xcos2y 令cos2yz，方程进一步变为(1x2)dzxz 解此一阶线性非齐方程得通解cos2y1x2Cln(1x2y

y22y(x x

y2 x

(y2) x

y2 xy2zdz

zx

xy2C(x1)x1)ln(x1) y'p(xyq(xyn(n0,1)xypy)xqy)xn(n0,1方程。当n0时，为一阶线性微分方程，当n1时为可分离变量的微分方程。yn，得到yny'p(xy1n进一步有：1y1n)p(xy1n1

dz1np(x)z1n)q(x（最好记住例（）求解方 y'

yx 2 原方程即

y'

x

zy2，原方程变为z'1zp(

p(

1

1z

(

dxc)ex(x2e

dxxelnx(x2elnxdxc)x(x21dxc)x(xdxxx(x2c)cx y

cxx2dy6yxy 解zy121ydz1zxzC1x 1C1x2y 例求解方程ylnx2)ydx解：方程变形为dy2ylnxy2— 方 xz1dz2zlnxz1lnx1Cx y(Cx22lnx1)4y例4 ）求解(y43x2)dyxy0满足y(1)1的特解dxy4 3解

xyx x2zdz6z2y

6

zep(y)dy(q(y)ep(y)dydyc)

y(2

ydye6lny(2

y3e6lnydyc)e6lny

y31dyc)

dyc)

c)

(

c)

即x2y4cy6有些方程不是方程，可作代换化为方程。例xylnxsinycosy(1xcosy)0解xlnx(cosy)cosyxcos2y令cosyz，方程变为xlnxzzxz2dz

xln

z1ln

z2——为方程(xCcosylnyxy2x3y2x解yxyyx22x0，令uyx 方程dux3uxu2 x2

4

x2 例f(xf(1)1x1C的积分为vyexf(xydxlnf(x)dy0fC xC解：已知积分PdxQdy与路L

PQ f(x)x

f(x)exf2z1z1zexz1Cex(x f(1)1得C2f(x2

ex(x1)

第五节P(x,y)dxQ(x,y)dy验证PQ如果成立，则可把上式写成duPdxQdy0解为U(x,y)C 求U(x,y线积分 2P(x,y)dxQ(x,y)dy0PQ，则可以寻求一个积分因子 (x,y

(P(Q，即存在U(x,y使得dU(PdxQdy)o而U(x,y)C二、教学要求和讲稿内若微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy 的左端恰好是某个二元函数u(x,y的全微分，即duP(x,y)dxQ(x,y)dy，则P(x,y)dxQ(x,y)dy0为全微分方程。由全微分的定义知duudxu 与式子duP(x,y)dxQ(x,y)dyuPu 故微分方程（1）为全微分方程u(x,y使uPu 此时，方程（1）变为du0，从而方程的通解为u(x,y)例xdxydy0d1x21y201x21y2 例ydxxdy0d(xy)0xy例求方程(x3y)dxxy)dy0x3dx(ydxxdy)ydy0d(1x4xy1y2) 1x4xy1y2 若已经知道了所给方程是全微分方程，如何求出u(x,(5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy0(xcosycosxyysinxsiny0定理P(xy)dxQ(xy)dy0PQ在单连通区域GP(x,y)dxQ(x,y)dy0是

Q(xy

(x,y(x0,y0

PdxQdyC P(xy)dxQ(x0y)dyC，或P(xy0dxQ(xy)dy 例(5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy解：因

6xy

u(x,y)(5x43xy2y3)dx y2dyx4

x2y2xy3 3 3

(5x43xy2y3)dx

y2dyx4 0x2y2xy3y3例求解方程(xcosycosxyysinxsiny解：原方程变形为(xcosycosx)dyysinxsiny)dx因PcosysinxQ u(x,y)0dx(xcosycosx)dyxsinyycos xsinyycosx另解：由于所给方程是全微分方程，所以存在u(x,y)uPysinxsinuQxcosycos

由第一式积分uycosxxsiny( cosxxcosy(y)uxcosycos故y)0y)ycosxxsinyC那么一个非全微分方程能否转化为全微分方程，这种转化是否容易呢？回答是：非全微分方程可以转化为全微分方程，但较。ydxxdy

但A

:ydx1dy0 xdy0(A)y2:ydx同理，在方程的两边乘1 "均可使原方程变为全微分方程xyx2定义P(x,y)dxQ(x,y)dy0(x,y)0，使方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0变为全微分方程，则称函数(xy)P(x,y)dxQ(x,y)dy0的积分因子PyQPy

f(x，则有积分因子(x)efgy，则有积分因子y)egy例yp(xyq(x的解。解原方程变形为(p(xyq(x))dxdy0PyQ

p(x)，方程有积分因子(x)epx)dxdx yepx)dxp(xyepx)dxq(x)epx)dx为全微分方程。dyyepx)dxq(x)epx)dxyepx)dxCq(x)edx 例求解微分方程(ex3y2dx2xydyxPyQx2，故方程有积分因子(x)e2dxx x2ex3y2)dx2x3ydy0为全微分方程，可用三种求其通用偏积分法：由题知，存在u(xy，使uxx2ex3y2uy2x3所以ux2exdx3x2y2dxy)(x22x2)exx3y2且有2x3yu2x3yyy)y(x22x2)exx3y2C线积分法（用积分与路径无关 u x2exdx2x3ydy(x22x2)exx3 凑全微分法x2exdx(3x2y2dx2x3ydy)0x2exdxx3y2例求解方程(2xy2y)dxy2xy)dyP 2 解：P4xy1,Q1, x ，积分因子(y) x2xylnyCdxdyd(x ydxxdydydxxdyd(x ydxxdyd(y ydxxdy ydxxdydarctan d(lny x2 例(x2y22x)dx2ydy0(x2y2)dx(2xdx2ydy) 2 22 d(x2y2) y d y x2 xln(x2y2ydxxdyy2xdx0ydxxdydx(3x2y)dx(3x2x)dy03x2(dxdy)(xdyydx)(xdyydx)(y1)x2y2dy0(y1)d(xy)x2y2dyd(xy)x2

y

dy0

ln(y1)第六节一阶微分方程的应用举例（略建立实际问题的微分方程模型一般比较，因为这需要对与问题有关的物体冷却模型例将某物体放置于空气中，在时刻t0时，测量得它的温度为1500C，10分钟后测量得温度为u1000C.求此物体的温度u和时间t 关系，并计算20分钟后物体的温度（假设空气的温度保持为u240C。设物体在时刻t的温度为uu(tdu。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而u0u时温差uu 得duk(uu 其中k0为比例常数。解此微分方程得uu并注意到u(0)1500C及u(10)从而u24126e0.051t其中k1lnu0u

1ln1.66 u1 力学问题建立力学模型主要依据是（Newton）第二定律，F力，它一般为时间tx和速度dx的已知函数。例如图(3.1)所示，在一根长度为l细线上挂着一个质量为m的质点M，解设摆动线与铅垂线的夹角为点沿圆周切向速度可表示为vld

M上的重力mg的法向分力mgcos与线的拉力大小相等、方向相反，相互抵消。因为质点M总是沿着圆周向平衡位置A的方向运动，即当角为正时向减小的方向运动；当角为负时，向增大的方向运动。所以质点M沿圆周切线方向的分力fmgsin即

因此，质点Mmdvmgsind

d2 mgsin

dt

sin l(1)如果摆只作微小振动，即比较小时，可取sin，式(3.23)d2gdt

d2gsin1Fdt fi图 图如图(3.2所示，物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况（45成正比，求速度和时间的关系式根据第二定律有

Fmgmdvmgkv2

v(0)v RLC电路问Q电路中随时间t而变化的电压V(t)I(t)或电量Q(t)C

EE0sint，今设时刻t0I0I与时间t的关系.解设时刻tII(tR (Kirdhoff)定律，有如关系式

EsintRIL dIRIE0sint

P(t)R,Q(t)E0sint 有 I(t)eP(t)dt(P(t)dtdt R L(

R 0sinteLdt LtRt teL( eL

sintdt

L R

tttLe2sinR LCeLtE0eLt

(RLsintL2

R2 (RsintLcost2R2I(0)I0

c R22

.R22I(t)(I

RLR22RL

(RsintLcost)R22 IR22L2(RsintLE sint cost)0R22 R22若令cos ,sin .R22~

R22LIE0sin(t其中角增长率问题

R)dx(b(t)dx(t可微，b(td(t(t称为该生物种群数量的纯增长率，它往往还与种群数量有关，即(t,x).于是，上面的微分方程可改写为dx(t,x)x(t)

(t,x)k就得到（Malthus）人口发展方程，此时，式 变dxkx(t)xx0ekt由此可见，当t取离散值1,2,,"时，人口数量是以ek数量为M，这时该鱼类种群数量的纯增长率可取为xM方程(3.24)

dxrx(1x x(tlogisticdxx和消费者持有该种商品饱和程度axx(adxkx(ax)抛物线的光学性质问题在制造探照灯的反射镜时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射x轴平行于光的反射方向，如图(3.4 L:yf yfz为求xoy平面上的曲线yf(x)的问题 过曲线L上任意一点M(x,y)作切NT，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推得NMO从而OMdytanMNOMP，及MPy,NPNOOPOMOP yf(xdy

或dx yydv

sgn其中cy2z2c(c

第七节可降阶的高阶微分方程的三种类型：y(n)fFyyy0，找出解的表达式及解法。

F(x,y,y)能通过换元或者全微分等变成这三种类型进行求解。2y(n)f解应包含n个常数。,二、教学要求和yfy,yypdpypdp 讲稿内 方程y(nx)

f 不显含未知函数y的方程F(xyyyu,则yuF(xuu0若能求出此一阶微分方程的通解uu(xc1yu，可得原方程的通解yu(xc1)dxC2(1x2)y例1求解方 y(0)1,y(0)yyuyu,(1x2)u两端

1duu

1x1du 2xdxln|u|ln(1x2)ln|c|uc(1x2 1 即yc(1x2) 又y(0) 所以c 所以y3(1x2，故y3(1x2)dx3(x

3x)c23xx3x3又y(0) 所以1C2 则有y3xx3yx33x1。

yln(1x2)ln

yc1(1x2xyylnyx令uyxuulnuxzux

1dxzeC1x1即yeC1x1(x1)C原方程的通解为y zey1ex22 不显含自x的方程Fyyy)作变换udyyuyddy)dududyududx dy Fyuudu)0，这是一个关于新未知函数u uu(y,c1 即yu(y,c1 u(y,c1

dyxc2例 求(2y1)y2y20的通

d2yu 代入原方程得(2y1)duu2u2

1duu

2yu1duu

2y

ln|u|ln|2y1|ln|c1u 再由udy，得dy 2y 2y即(2y1)dyc1dx，两边积 (2y1)dyy2yc1x另解：原方程可

22y

0lnyln2y1lnc12yyy

y2yc1x例求解方程yyy2y3.yuduu2u3由u0yyduuu2

1dy

即u C1y将uyxC1lnyyC2xC1lnyyC2及y 恰当导数方程F(xyyy0的左端恰为某一函数(xyyx)显然可降低一阶而成为(xyyc，再设法求解这个方程，这一段解法的技yyy2 原方程可改写成：(yy)积分得：yy 即ydy例 求

y2c1xcyyy2

yy 先将两端同乘以积分因 ,则 y yy c原方程即为d0 y

yc2e例f(x有二阶连续导数，且满足lnxf(x)ydxf(x)dy0 其中Cf(1)0,f(1)0，求f(x)。解：由题意知：曲线积分与路径无y(lnxf f(x)xf(x)f(x)ln p(x)f(xp1pln p(xC1lnx1f(1)p(1)0知C p(x)

f(x)1lnx1f(x)lnxx(lnx2) f(10得C2f(x)lnxx(lnx2)2。一、内容要点：

第八 二阶线性微分方二、教学要求和 (x)yf(x)的方程称为n阶线性微分方 （Second-orderLinearEquationsf(x0，则称该方程为n阶线性齐次 二阶线性齐次方程解的性质与结构 yp(x)yq(x)y （c1,c2为任意常数yc1y1c2y2（1）的解，且含有两个任意常数c1c2yc1y1c2若y1是（1）的解，则ky1也是（1）的解，则由齐线性方程的迭加原理yc1y1c2ky1(c1c2k)y1 (cc1c2k)凡解，由迭加原理知yC1y1仍是（1）的解，但显然不是（1）的通解。的通解呢？从上面的例子及定义知：主要看c1,c2是否独立，而c1,c2独立与定义1 设函数组y1(x),y2(x),yn(x)在区间(a,b)上有定义，如果存在一组不全为0的常数k1,k2,kn，使得x(a,b)有k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)成立，则称函数组y1x),y2x,yn(x)在(ab)上是线性相关的。否则，称y1xy2xyn(x在(ab如函数组1,cos2xsin2x在(,内是线性相关的因为取k11,

1kykyky1cos2xsin2x1 2 3而函数组1,x,x2,x3在任何区间(ab)1 2 3k11kxkx2kx30则必有k1k2k3k42又如er1xer2x"ex（rr"r互不相同）是线性无关1 （设有cer1xcer2xcernx0分别取x0,1,"n1得方可 得c1c2cn0由定义不难得到y(xy(x)在(ab线性无关y1(x)2 2yy1x，y2xyp(xyq(xy0程的任何一个解y(x，均存在常数c1，c2y(x)c1y1x)c2y2xy1x0yp(xyq(xy0的一个已知特解。则可设另一个与之线性无关的特解y2x)u(xy1x)，其中u(x)为待定的函数，求得y2y2y2代入齐次方程，并整理 2y1py1uy1u0 u(2y1 lnu2lny1p(x)dxln所以uc1ep(x)dx（只找特解，可取c1即u(x)

y1yy21epx)dx，再积分得u(x)y21

y221ep(x)dxdxy221取

0得u(x)1epx)dxy21y2故y(x)y(x)u(x) 1ep(x)dxdx——称y 1y1ycycycyc 1ep(y1 2 1 21y1（1）若1p(xq(x)0,yp(xyq(xy0yp(xxq(x)0,yp(xyq(xy0ym，使得m2mp(xq(x)0yp(xyq(xy例1 求(x1)yxyy0的通解 将方程化为y x

y x

y0，p(x) x

,q(x) x1p(x)q(x)1x1x

x x x

xp(xxq(x)xx

x

0y2 e

常数，y与

ycxce1 1 例 解方程(1x2)y2xy2y y 1x2这里p(x) q(x) 1x 1x

y 1x

y因为p(x)xq(x) 1x

1x20y1则另一个与y1线性无关的2 y 1ep(x)dxdx 1ex2dxdx 1ex2d(1x)dx 1eln(1x2) y 1y1

x x

1 dxx1

1 1 x21x

x 1x

1x x11ln|1

xln1x 1x 1 ycxcxln1x 2 1 2。二阶线性非齐次方yp(x)yq(x)yf yp(x)yq(x)y 1y(x（LN）的解，y(x（LH）y(xy(x（LN）3y1(xy2(x是（LH）方程的两个线性无关的解，y*为（LN）方程的一个特解，则（LN）的任意解可表为y(x)c1y1x)c2xy2x)y*.y(x是（LN）2y(xy是（LH）解，再由齐线性方程的通解结构定理知：必存在常数c1,c2y(x)ycycyy(x)cycy1 2 1 2可见y(x)c1y1xc2xy2xy*通解，将常数c1c2变易为函数c1x),c2x)，假y(x)c1(x)y1c2(x)

因为y(xc1xy1c2xy(xc1(xy1c1(xy1c2(xy2c2xc1(x)y1c2(x)y2c1(x)y1c2(x)令c1(xy1c2(xy20（这样使确定ci(x)的条件简单所y,yyf(x)yp(x)yq(x)c1(x)(y1p(x)y1q(x)y1)c2(x)(y2p(x)y'2q(x)y2)c1(x)y1c2(x)所以最后得到c1(x),c2(x)应满足的两个方程c1(x)y1c2(x)y2c(x)yc(x)yf 它是一个关于c1(xc2(x)的线性方程组，求解之，可得唯一解c1(x),c2(x)，解出后积分并代入（A）式，便得到非齐次方程的通解或特解y。例 验证y1cosx,y2sinx是yy0的两个线性无关的解，并yy cosx

y*c(xcosx

yc1cosxc2sin(x)sinx是y//y 的一个特解，则c(x),c(x)

c(x)sinxc(x)cosx

cos 1 cosc1(xtgx 取c(x)lncosxc(x) c2(x)yc1cosxc2sinxcosxlncosxxsin例求方程txxt2于域t0解：先求对应齐次方程的两个线性txx0x1lnxlntlncxctx1ct2 2 对应齐次方程的两个线性无关的解1,tx

tc(t)c(t)t2

c1(t) t3c,c(t) t c2(t)2t

xcct21t 已知二阶线性非齐次微分方程的两个特解为y11xx3，y2x2对应的齐次方程的一个特解为y1xy(0)5,y(0)2y1~2ycycy1 2 yx32x4y1,y2yp(xyq(xyf1(x和yp(x)y'q(x)yf2y1y2yp(xy'q(xy

f1(xf2(x定理5yy1xiy2xyp(xy'q(xyf1xif2x解，则y1(x),y2(x)分别为yp(x)y'q(x)y的解 f1(x)yp(x)y'q(x)y f2y(n)(x)y(n)(x)iy(n) 根据此定义，把y'y1iy2 代入方程yp(x)y'q(x)yf1(x)if2

f1(x)if2

y1p(x)y1q(x)y1y2p(x)y2q(x)y2

f1f2 推论若yy(x)iy(x)是y//p(x)y/q(x)y0的解，则y(x), yyx2ex解yy0的通解为Yc1cosxc2sinxyyx2y1x22（yax2bxc是方程的解，为什么这么假设yyexy1ex（yAex是解，为什么 y

cosx

sinxx221ex2一、内容要点：

第九节常系数齐次线性微分方程 y(n)py(n1)"py p,"pnyerx为它的解，经求导代入方程消去erx后得rnp1rn1"pnn次方程，它一定有n个根r1,"rn，其中ri可以k重实根，也可k重共轭复根i，每一个rin个线性无关的特解，利用线性微分方程解的结构，可构成n个任意常数的通解。二、教学要求和讲稿内容ypyqy0（其中p,q为常数 特解y1y2呢？我们的思路是这样的：先假设某个函数是方程（1）解，这个ypy0dypdxlnypxlnCyCepxyyerx，其中r待定，并注意指数函数的各阶导数只相差一个常数因(erx)p(erx)qerx0r2erxprerxqerx0r2prq从而我们得到结论yyerx是方程（1）的解r是方程r2prq0注意微分方程的结构形式与其特征方程的结构形式的特点——微分方程设特征方程有两个不相等的实根r1,r2，则微分方程对应两线性无 yer1xyer2xyCer1xCe

p2yer1x，我们还需找另一个特解y

u(x常数（，将2yu(x)er1x2yer1x(ur yer1x(u2rur er1x(u2rur2u)per1x(uru)quer1x u2rp)ur2prq)u0（注意r是特征方程的二重根 u0uCuCx 取u(xxyxer1xyCCx)er2 注：另一特解也可 得到特征方程有一对共轭虚根r1,2y1e(ixy2e(i yCe(i)xCe(i) 原理，另找两个实值形式的线性无关的解来代替y1y2y1e(ixex(cosxisiny2e(i)xex(cosxisiny1yyexcosx,y1yyexsin yex(C1cosx

sin1。写出对应的特征方程r2prq02。求出特征r1,r2rryCer1xCer2x rryCCx)er2x 共轭虚根r1,2iyex(CcosxC2sin1例：y2y3y 通解：yC1exC2e3xd2例dt

s

例：y2y5y 通解：yex(C1cos2xC2sin例y5y0yx02,yx0yC1cos5xC2sin5xy2cos5xsin，一、内容要点：

第十节常系数 线性微分方特解之和，从而关键在于寻求特解，当自由项为Pm 二、教学要求和常系数 讲稿内容形如ypyqyf 的方程(p,q为常数)称为二阶常系数线性非的通解与它本身的一个特解之和，而方程的通解在上一节的讨论中已得到解决，并且还可以从方程的通解出发，使用常数变易法求出非方程的一个特解。因而，原则上说，二阶常系数非方程的求解问题已经解决了。但是对某些特殊的自由项f(x)，可用待定系数法确定非方程的特解。f(x)pm(x)exf(x)ex[pm(x)cosxpn(x)sin其中pm(xpn(x)分别表示xm次和n次的已知多项式，我们之所以研究一、f(x)pm(x)ex为 ypy'qyexpm 的特解，由于方程的右端是m次多项式pm(x)与指数函数ex的乘积，左端的y*Q(x)ex，其中Q(x在看能否确定Q(x)设y*Q(x)exy*ex(Q(x)y*ex(2Q(x)2Q'(x)Q（10.1 若不是特征方程r2prq0的根。则2pq0，因为pm(x的次数为m次,要使(10.2)Q(x)的次数可m，记为Qm(x)即Q(x)axmaxm1a，代入（10.2）式，比较等式两端的多项式，利 出a0a1...am，从而得到特解y*Qm若是特征方程r2prq02pq 2p从（10.2）式可看出左边的次数应是Qx的次数，因为pm(x的次数为m次,要使(10.2)式成立，所以Q'(xm，则Q(xm+1，因而可令Q(x)xQm(x，并且用同样的方法确定Qm(xy*xQm若是特征方程r2prq02pq 2p由（10.2）式可看出：左端的最高次数应是Q(x)的次数，因为pm(x)的数为m次,要使(10.2)式，则

Q(xm，所以Q(xy*x2Qm （用同样的方法确定Qm(x)的系数综上所述ypy'qypm(x)ex的特解为y*xkQm不是r2prq0的 是r2prq0的单 是r2prq0的重 y5y5x22x解对应方程的特征方程为r25r ,r2所以方程的通解为yc1c2由于0是单特征根，故非方程有如y*x(Ax2BxC)的特解3

BC y*13ycce5x1 例y2y'y解所给方程对应方程的特征方程为r22r1解得特征根为r1r2 ，所 方程的通解为y(c1c2又因1是特征方程的二重根，所以非方程的特解有形23B0，所以 方程的特解为y*2x3e3所求原方程的通解为y

x)ex2x3e33y2y'3y3x1ex解对应方程的特征方程为r22r30解得特征根为r r3，对应通解 ycexc 1在求非方程的特解时，由于f(x)3x1ex不属于pm(x)ex的形式，但根据第7节的定理7y2y'3y3x1y*y2y'3yex1y*y*y*2

1y

2x1,y

14所以y*y*y*x11xex 故原方程的通解为ycexce3xx11 例设(x)为连续函数，且满足(x)ext(t)dtx(t)dt，求(x) x解x求导，得(x)ex0x求导，得(x(x)ex，且(0)1,(0)求解该微分方程的初值问题，得(x)1(cosxsinxex2二f(x)exP(xcos