人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第七章立体几何与空间向量

第二课时球及其表面积与体积关键能力•课堂突破喔考点一球的表面积与体积.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,若不计容器厚度，则球的体积为(A)TOC\o"1-5"\h\za500n 3口866n 3A. cmd. cm3 3解析:c如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2(cm),BM=gABWx8=4(cm).设球的半径为Rcm,则R2=0M2+MB2=(R-2)2+42,所以R=5,所以V球力”X5J言jt(cm3).故选A..圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球,测得容器的水面下降了?cm,则这个铁球的表面积为cm2.解析:设该铁球的半径为r,则由题意得3nnX102x1,解得召=5\所以r=5,所以这个铁球的表面积S=4nX5JIOOJ1(cm2).答案：100n&题后悟通.求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积,须通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了..球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2=d2+r2.糜考点二球的接、切问题口角度一“相接”问题金询已知球0是三棱锥P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,CP=2V^,点D是PB的中点，且CD=«,则球0的表面积为().28n口14irTOC\o"1-5"\h\zA.—B.—3 3„ 八 167TC. D. 27 3解析:依题意，由PA=AC=2,CP=2遮，得AP_LAC连接AD(图略)，由点D是PB的中点，且PA=AB=PB=2,得AD=V3,又CD=V7,AC=2,可知AD1AC,又APGAD=A,APu平面PAB,ADc平面PAB,所以AC_L平面PAB.以4PAB为底面,AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球0是该三棱柱的外接球,球心0到底面4PAB的距离d=|AC=l.由正弦定理得4PAB的外接圆半径r=-^—2sin60V3所以球0的半径R=Vd2+故球0的表面积S=4nR2普.故选A.解题策略处理“相接”问题，要抓住空间几何体“外接”的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.口角度二“相切”问题0^0(1)已知正四面体p-ABC的表面积为S1,此四面体的内切球的表面积为S2,则新(2)已知正方体的棱长为2,则与正方体的各棱都相切的球的表面积是.解析：(1)设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积为S1=4xf-a2=V3a2,其内切球半径r为正四面体高的;,即4 44*泽=浮,因此内切球的表面积为Sz=4nrJ吟则新当1号(2)过正方体的对角面作截面如图.故球的半径r=V2,所以其表面积S=4JiX(V2)2=8Ji.答案：（1）也⑵8nTT解题策略处理“相切”问题，要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.［针对训练］.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC=V3,则该三棱锥的外接球的表面积为（）ACn16n4n3273A.8nB.—JiC.-nD. n3 3 27解析:如图，由PA=PB=PC=2,过P作PG_L平面ABC,垂足为G,则G为三角形ABC的外心.在4ABC中，由AB=AC=1,BC=V3,可得NBAC=120°.由正弦定理可得.巳。—2AG,即AG=1,sinl20所以PG=VP42-AG2=V3.取PA的中点H,作H01PA交PG于点0,连接0A,则点0为该三棱锥外接球的球心.由△PHOsaPGA,可得必=则P0=吆y华必2JPOPAf PGV33即该三棱锥外接球的半径为竽，所以该三棱锥外接球的表面积为4JiX（苧）2=£n.故选B..在三棱锥P-ABC中,PA_L平面ABC且PA=2,AABC是边长为6的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为（）A-TB.4nC.8nD.20n解析：由题意得,此三棱锥外接球即为以4ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球.因为4ABC的外接圆半径r=yXV3X^l,外接球球心到4ABC的外接圆圆心的距离d=?=l,所以外接球的半径R=Vr2+d2=y[2,所以三棱锥外接球的表面积为S=4nR2-8n.故选C..已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.8 0,c解析：当球为圆锥的内切球时,球的半径最大.如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.其中球心为0,设其半径为r,AC=3,0C=l,所以卜。7AC2-O©=2班.因为00i=0M=r,所以A0=A0「00i=2遮-r,又因为△AMOsaaoc,所以黑斗，即:用，解得「咚C/jCAC X«3 /所以该圆锥内半径最大的球的体积为V=^nX（争3=字.答案:叵扈备选例题

例1一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是（）TOC\o"1-5"\h\zalOOn3n20811 3A. cmd. cm3 3c500Tl 3n416413nC. cmD・ cm解析:根据球的截面的性质，得球的半径R=x/32+42=5（cm）,所以V球=gnRj苧（加）.故选C.CW球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为a,则球的表面积解析:正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面（正方形）的中心,经过四个切点及球心作截面,如图,所以有2r=a,rq,所以S=4jir2=Jia2.课时作业答案：na课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练球的体积与表面积1,2,3,5球的切、接问题4,6,7,8,9综合问题10,11,12,13,14,1516,17灵活小混在鼓促混0选题明细表A级基础巩固练.已知底面边长为1,侧棱长为四的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（D）A.—B.4兀3C2靠D.y解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径4J12+M+（V2）2=l,所以V球寺X呼故选D..（2021•安徽安庆调研）已知在四面体PABC中，PA=4,BC=2n,PB=PC=26,PA_L平面PBC,则四面体PABC的外接球的表面积是（C）A.160JiB.128jiC.40JiD.32n解析：因为PB2+PC2=12+12=24=BC；所以PB_LPC,又PA_L平面PBC,所以PA±PB,PA1PC,即PA,PB,PC两两相互垂直，以PA,PB,PC为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为y/PA2+PB2+PC2=V16+12+12=2V10,故该四面体的外接球半径为Via于是四面体PABC的外接球的表面积是4五X（VlO）MOJi.故选C.3.已知A,B.C为球0的球面上的三个点，OOi为4ABC的外接圆.若OOi的面积为4n,AB=BC=AC=00”则球。的表面积为（A）A.64JiB.48nC.36nD.32”解析:如图所示,设球0的半径为R,001的半径为r,因为OOi的面积为4n,所以4n=冗1,解得r=2,又AB=BC=AC=OOi,所以.黑。=2r,解得sin60AB-2V3,故00尸2四所以R2=OOj+N=（2何2+22=16,所以球0的表面积S=4JiN=64n.故选A.B4.（多选题）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为6-1,则（ABC）A.正方体的外接球的表面积为12JiB.正方体的内切球的体积为詈C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为26解析:设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即苧a,内切球的半径为棱长的一半，即今因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,所以MNrain^a-^^a=V3-l,解得a=2,即正方体的棱长为2,C正确；正方体的外接球的表面积为4nX（6）2=12n,A正确;正方体的内切球的体积为小B正确;线段MN的最大值为fa+表遍+1,D错误.故选ABC..如图,在圆柱内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0。的体积为Vb球0的体积为V2,则察的值是 .V2解析:设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱oa的底面圆的半径为R,高为2R,故台二号.(2021•湖南长沙检测)在封闭的直三棱柱ABCJVBC内有一个体积为V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA尸3,则V的最大值是.解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切，设底面4ABC的内切圆的半径为r,则Bx6X8=gx(6+8+10)•r,所以r=2,2r-4>3,不符合题意.则球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大,则2R=3,即R=1,故球的最大体积V=gJiR3=^jt.答案：'冗.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是日n,那么这个三棱柱的体积是.解析:设球的半径为r,贝畤n，音Ji,得r=2,则正三棱柱的高为2r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4V3,所以正三棱柱的体积为N巫X(4V3)2X4=48V3.4答案：48旧

.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为 .解析:因为圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图所示.设球的球心为0,圆台上底面的圆心为0',则圆台的高00'=JoQ2_0'Q2=>52-42=3,据此可得圆台的体积为V=gnX3X(52+5X4+42)=61n.答案：61n.在半径为15的球0内有一个底面边长为126的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.解：(1)如图甲所示的情形，显然0A=0B=0C=0D=15.设H为4BCD的中心,则A,0,H三点在同一条直线上.因为HB=HC=HD=|x亨X1273=12,所以0H=V5产不*=9,所以正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.又Sabcd=vX(12忖2=108同所以V戏锥A-BCD=1X1O8V3X24-864V3.甲甲(2)对于图乙所示的情形，同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,SABCD=108V3,A所以V三棱椎a-bcdX108V3X6-216V3.综上,可知正三棱锥的体积为8646或2166.B级综合运用练.已知4ABC是面积为竽的等边三角形,且其顶点都在球0的球面上若球。的表面积为16n,则0到平面ABC的距离为（C）A.V3B.1C.1 D.—2解析:设球0的半径为R,则4JiR'16Ji,解得R=2.设4ABC外接圆的半径为r,边长为a.因为4ABC是面积为苧的等边三角形，所以•噂=喀解得a=3,所以r=：•Ja2-^=1x（9-^V3,所以球心02 2 4 3743y 4到平面ABC的距离d=V«2^2=V4z3=l.故选C.11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点，ZCEF=90°,则球0的体积为（D）A.8V6nB.4y[6nC.2\/6nD.V6n解析:因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF〃PB,c因为NCEF=90°,所以EFLCE,所以PBLCE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC_L平面BDP,所以PBJ_AC,又ACnCE-C,AC,CEu平面PAC,所以PB_L平面PAC,所以PB±PA,PB±PC,因为PA=PB=PC,AABC为正三角形,所以PALPC,即PA,PB,PC两两相互垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中.因为AB=2,所以该正方体的棱长为遮，所以该正方体的体对角线长为痣,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R当所以球0的体积V=1jir3=］弘x（y）3=V6n.故选D..唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图①所示），它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图②），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面积为Scm；半球的半径为Rcm）,要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则R的取值范围为（D）解析:设圆柱的高度与酒杯的容积分别为h,V,则表面积S=2JiR2+2靠Rh,故靠Rh=1-兀R2,所以酒杯的容积V=-JiR3+jiR2h^jiR3+(--jiR2)R=--R3+-R^-jiR3,3 3 2 3 2 3所以gwgnR2,又”R2>0,所以jiR2〈衿扛r2,解得l支~WR<g.yjlOn72n故选D..已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球表面积的白则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析:如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.由题意得“r=^~-4JiR\16所以r2^R2.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心0,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,且AB10.C,所以00尸［R2一「2=*因此体积较小的圆锥的高为AO,=R-^=p体积较大的圆锥的高为B0尸R+胃R,故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为答案§.伟大的阿基米德的墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=nr2h,由题意知圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为r,V圆锥nr2h,V球nr3.又h=2r,所以V圆锥：V球：V圆柱ndh：gnr3：nr2h=|nr*：gnr'：2nr^l：2:3,.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中厂1,1=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积为S=4nr2+2nrl=4nX12+2nXlX3=10n,该组合体的体积V=gn—+Ji/1三JiXl：i+JiX1?X3=等.C级应用创新练.已知三棱柱ABC-A.B.C.的所有顶点都在球0的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同.若球0的表面积为20Ji,则三棱柱的体积为.解析：因为三棱柱ABC-ABG的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形.设三棱柱底面边长为a,高为h,截面圆的半径为r,球半径为R,所以厂套因为球0的表面积为20n,所以4JiR2=20ji,解得R=V5.因为底面和侧面截得的圆的大小相同，所以《）2+勺=（看）2,2 2V3所以a=V3h.①又因为（"+（指）2=R2,②2V3由①②得a=2g,h=2,所以三棱柱的体积为V=^X（26）2X2=671答案：66.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗,粽子又称“粽粮”，是端午节大家都会品尝的食品.如图⑴的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图⑵的粽子形状的六面体,则该六面体的体积为；若该六面体内有一球,则该球的体积的最大值为.AZW一令图⑴ 图⑵解析：由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长为1,则正四面体的高为J1-$2*所以正四面体的体积为工X^x1x—x—=^.3 2 2 312因为该六面体的体积是正四面体体积的2倍，所以该六面体的体积是或.要使球的体积达到最大,则球与该六面体的六个面都要相切.连接球心和六面体的五个顶点,把六面体分成了六个全等的三棱锥.设球的半径为R,则、二6义（；X；X1xf•R）,解得R=6 3 2 2 9所以球的体积V守R筲X（净J嗯.第十意立体几何与空间向量(必修第二册+选择性必修第一册)第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积

回课程标准要求.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构..了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式..会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.必备知识•课前回顾知识梳理.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形ABSaABAB底面互相平行且全笠多边形互相平行且相侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于二点侧面形状平行四边形三角形梯形

(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形1■A\0a母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于——占，八、X轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环\.直观图空间几何体的直观图常用到二W画法来画,其规则是：(D原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直，直观图中,x'轴、/轴的夹角为45°(或135°),zz轴与X，轴、/轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度丕变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

侧面积公式S圆柱侧=2兀r1S厕锥侧二兀r1S圆台厕=n(r'+r)14.空间几何体的表面积与体积公式名称几赢、表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V-S底•h锥体(棱锥和圆锥)S表面积-S侧+S底V=s底・h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下v=|h(Sr+S卜+Js卜S7球S=4nR2V)jiR33三重要结论L特殊的四棱柱.球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面.(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=y/R2-d2..正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R,(1)若球为正方体的外接球，则2R=8a;(2)若球为正方体的内切球，则2R=a;(3)若球与正方体的各棱相切，则2R=&a..长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=y/a2+b2+c2..正四面体的外接球的半径R畔a,内切球的半径厂痔,其半径R：41 1，r=3：1(a为该正四面体的棱长)..直观图与原平面图形面积间关系S直观图:::^S原图形.4——对点自测——1.已知圆锥的表面积等于12ncm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(B)3A.1cmB.2cmC.3cmD.-cm2解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则S表="r2+jtrl=nr2+nr,2r=3jir2=12n,所以r2=4,所以r=2(cm).故选B..体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A)32A.12JiB.—JiC.8JiD.4n3解析：由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线长26即为球的直径,所以球的表面积为4nR2=(2R)2Ji=12jt.故选A..0、(必修第二册P109例2改编)如图，直观图所表示的平面图形是(D)A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析：由直观图中A，C'〃/轴,B'C'〃x，轴,还原后AC〃y轴，BC〃x轴，所以4ABC是直角三角形.故选D.D'HC'如图，长方体ABCD-A'B'CD7被截去一部分，其中EH〃A'）,剩下的几何体是（C）A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析：由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C.5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为.解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为TOC\o"1-5"\h\zX|X|aX|bX|c=-^abc,剩一卜的几何体的体积为J / / 4,01 4.7V2=abc--abc=—abc,所以V1：V2=l:47.4o 4o答案：1：47第一课时立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积关键能力•课堂突破糜考点一空间几何体的结构特征、直观图1.（多选题）下列说法正确的是（AD）A.棱柱的侧棱长都相等B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面解析:A正确;B不正确，如正六棱柱相对的侧面平行;C不正确,棱台的侧棱长可能不相等;D正确,用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面.故选AD..下列命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为（B）A.0B.1C.2D.3解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.故选B..给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为（填序号）.解析：对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错误;对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错误;对于③,若底面不是矩形,则③错误;④由线面垂直的判定定理,可知侧棱垂直于底面,故④正确.综上,命题①②③不正确.答案:①②③.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=V^,下底AB=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A，B，C，”的面积为.解析:如图（1）和（2）的实际图形和直观图所示.作E，F_L（TB'于点F,因为OE=J（鱼/一1=1,由斜二测画法可知0，e，三,E'F号,D'C，=1,A'B'=3,则直观图A'BzC6的面积为"号■义务条答案写♦题后悟通.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例..圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系..既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的,所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略..画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（x轴和y轴成45°或135°）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变）来掌握.房考点二柱、锥、台体的表面积与体积口角度-简单几何体的表面积OR如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是圆柱上底面的圆心，圆柱的侧面积是（）TOC\o"1-5"\h\zA.立nB.越兀C.延n D.0n3 4 3 2解析：B如图所示,过点P作PE_L平面ABC,E为垂足，点E为正三角形ABC的中心,连接AE并延长,交BC于点D.AE』AD,AD=—,3 2所以AE=1x今*所以PE=VP42-AE2-y.设圆柱底面半径为r,则r=AE=f,所以圆柱的侧面积为S=2nr-PE=2Jixfx,考n.故选C.解题策略.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系..多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.口角度二简单几何体的体积(SH)(1)已知三棱锥S-ABC中，ZSAB-ZABC=pSB=4,SC=2V13,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是( )A.4B.6C.4V3D.6V3(2)如图,长方体ABCD-A.B,C.D,的体积是120,E为CC.的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.

CiD\CiM二月c解析：⑴因为NABCg,AB=2,BC=6,所以AC=，4辟+BC23H+62=2国.因为NSABg,AB=2,SB=4,所以AS=V5B2-AB2=a/42-22=2V3.由SC=2V13,得AC2+AS2=SC2,所以ACJ_AS.又因为SA_LAB,ACGAB=A,ACc平面ABC,ABu平面ABC,所以AS±平面ABC,所以AS为三棱锥S-ABC的高,所以V三棱锥sabcWX打2X6X26=4点故选C.(2)设长方体中BC=a,CD=b,CG=c,则abc=120,所以Vf-bcd—,-ab,-c=—abc=10.3 2 2 12答案：(1)C(2)10解题策略求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.口角度三不规则几何体的体积如图，四边形ABCD是边长为2的正方形,ED平面ABCD,FC_L平面TOC\o"1-5"\h\zABCD,ED=2FC=2,则四面体ABEF的体积为( )A.-B.-C.1 D.-33 3解析：因为EDJ_平面ABCD,

且ADc平面ABCD,所以ED±AD.因为在正方形ABCD中，AD_LDC,而DCGED=D,DCu平面CDEF,EDu平面CDEF,所以AD_L平面CDEF.连接EC,DF（图略），易知FC=*1,Vabef=Vabcdef-VF-ABCD-Va-DEF.因为Ve-abcd=ED•S正方形abcd•丁2X2X2X Vb.efc二BC•Saefc•—=2X2X1X—X—,3 2 33'所以VabCDEF：所以VabCDEF：8,210F-+——.又1 14Vf-abcd=FC•S正方形 •~1X2X2X Va-def=AD•比刀71MBeD 3 33DEF,—2X2X2X；X 故选B.解题策略求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.（1）利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱（也可分割成四棱锥）.（2）利用“补”的方法把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥,把三棱柱补成四棱柱,把不规则几何体补成规则几何体,补一个同样的几何体等.［针对训练］L（多选题）等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，所形成的几何体的表面积可以为（）A.V2JiB.（1+V2）JiC.2V2nD.(2+V2)w解析:如果是绕直角边旋转,则形成圆锥，圆锥的底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,长为遮,所以所形成的几何体的表面积为S=JiX1XV2+JIXl2-(1+V2)n.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高亭,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以所形成的几何体的表面积为S，=2XJi 综上可知,所形成的几何体的表面积是(1+遮)n或四n.故选AB.2.已知四棱锥的底面是边长为遮的正方形，侧棱长均为遥.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.解析：由题意知圆柱的高恰为四棱锥高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为在,所以底面正方形对角线长为2,所以圆柱的底面半径为今又因为四棱锥的侧棱长均为遍,所以四棱锥的高为J(通产-12=2,所以圆柱的高为1,所以圆柱的体积为V=JiX弓产义1三.答案:；4《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臊.如图，四面体P-ABC为鳖席,PA,平面ABC,ZABC为直角，且PA=AB=BC=2,则P-ABC的体积为.解析：由题意知PA_L平面ABC,NABCg,PA=AB=BC=2,所以,BC-2,所以Vp-abc---Saabc•PA=：X2X2与.宏:搴.£口 ,3AB如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,ABCF均为正三角形,EF〃AB,EF=2,则该多面体的体积为.解析：EGHFAB如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意,三棱锥E-ADG的高为EG=1,直三棱柱AGD-BHC的高为AB=1,则AG=aM£2—eg2= 2=y.取AD的中点M,连接MG,则MG=y,所以5/弓义1**£所以V多面体1^/2 1 -J2=^E-ADG+^F-BHC+VAGD-BHC-^VE-ADG+^AGD-BHC~2X~^X2X^+~4X13,答案:苧慢考点三折叠与展开问题CW如图所示，圆台母线AB长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和10cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.解:如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥,连接MB',在圆台的轴截面中，因为RtAOPA^RtAOQB,设/BOB'=a，由扇形弧府的长与底面圆Q的周长相等,得2X10XJi=0B•a,即20n=(20+20)•a,所以a=],所以在RtZ\B'0M中，B'M=VOM2+OB'2=V302+402=50(cm),即所求绳子长度的最小值为50cm.解题策略求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开,画出其侧面展开图;(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.［针对训练］如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-ABCD的棱CG的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是V13cm.若以BBi为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是gcm,故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是VHcm.答案:■备选例题CW如图所示,正三棱柱ABC-ABG的底面边长为2,侧棱长为6,D为BC的中点，则三棱锥A-BiDG的体积为()GlBA.3B.1C.1D4解析：由题意可知,AD，平面BQ。,即AD为三棱锥A-BiDG的高，且A瑶X2=恒易求得S^BiDg弓X2XV3=V3,所以V4.BiDCi[x6x6=1.故选C.如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC〃平面DEFG,平面BEF〃平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为.解析:因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C作CH±DG于点H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱△曲•ADM2X1X2=2,V-=5△bef,DE--X2X1X2=2,故所求几何体的体积为V多面体abc-defg=2+2=4.答案：4CW?若圆锥的表面积是15Ji，侧面展开图的圆心角是会求圆锥的体积.解:设圆锥的底面半径为r,母线为1,则2nr=gl,得l=6r.又S圆锥=nr'+jtr,6r=7n/=15n,得r=J^>圆锥的高为h=VZ2-r2=V36r2-r2=V35r=V35XJ^=5V3,圆锥的体积为r2h=ijiX—X5V3=—Ji.3 7 7C»已知正三棱台(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心)的上、下底面边长分别是2cm与4cm,侧棱长是V6cm,试求该几何体的体积.解:如图,0',。分别是上、下底面的中心，连接00',0'B',0B.在平面BOO'Bf内作B，E_LOB于点E.>\A△A'B，C'是边长为2的等边三角形,O'是中心，所以O'B'=：X2X亨弩(cm).同理OB=&Jcm,则BE=OB-O'B'与(cm).在RtZ\B'EB中，BB'-V6cm,BE=^cm,所以B，£=苧cm,即三棱台的高为手cm,所以三棱台的体积为yJ：X—X(—XI6+—X4+/—X16X—X4) (cm3).3 3 4 4 \4 4 3课时作业®选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练空间几何体的几何特征、直观图2,3,410空间几何体的体积与表面积1,5,6,8,912,13折叠与展开问题711综合问题14,15,16,17A级基础巩固练.《算术书》记载有求“困盖”的术:置如其周，令相乘也，又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长1与高h,计算其体积V的近似公式Vq「h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率JT近似取3,那么,近似公式V^l2h相当于将圆锥体积公式中的门近似942取（c）.22o25TOC\o"1-5"\h\zA.—B.—7 8r157八355C. D. 50 113解析:V=|nr2h=1n•（-3）2h=-i-l2h.由白产急,得312辞•故选。3 32it12ti 12tc942 50.（多选题）（2021•山东潍坊调研）下列关于空间几何体的叙述正确的是（CD）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体解析:A选项，当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥,A不正确;B选项，当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分,B不正确;C正确;D正确，如图,正方体ABCD-A.B,C.D,中的三棱锥C.-ABC,四个面都是直角三角形.故选CD..（多选题）如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是（AC）A.四棱柱B.四棱台C.三棱柱D.三棱锥解析:根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC..如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45。、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（D）C'A.2+V2B.1+V2C.4+2V2D.8+4V2解析：由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示.由于O'D'=2,D'由=2,所以0D=4,DC=2,在题图中过D'作D'H±A/B'（图略），易知A'H=2sin45°=V2,所以AB=A'B'=2A'H+以=2近+2,故平面图形的面积为S*竺-AD=8+4应.故选D.（2021•山东聊城模拟）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示,DA_L平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB〃CD〃EF,AB=AD=4,EF=8,点E到平面ABCD的距离为6,则这个羡除的体积是（C）A.96B.72C.64D.58解析:如图,将多面体分割为两个三棱锥D-AGE,C-HBF和一个直三棱柱GAD-HBC.

这个羡除的体积为V=2X-X1X2X6X4+1X6X4X4=64.故选C.（2021•河南郑州调研）现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（D）A.3nB.—2C.—D.V5Ji2解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2R=h=2,所以R=l.所以圆锥的母线为1=〃2+/?2=叵不1=倔因此S圆锥侧二几R1=1XV5Ji=V5n.故选D..如图,正三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到Ab路线为A-M-N-Ai,则蚂蚁爬行的最短D.y/a2+b2D.y/a2+b2A.yja2+9b2C.+9b2解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b,宽为a,则其对角线AA,的长为最短路程，因此蚂蚁爬行的最短路程为y/a2+9b2.故选A.

.（2020•浙江卷）已知圆锥的侧面积（单位:加）为2兀,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位:cm）是.解析:如图，设圆锥的母线长为1,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=nrl=2Ji,所以r•1=2.又圆锥的侧面展开图为半圆，所以豹J=2Ji,所以1=2,所以r=l.答案：1.如图，在ZXABC中，AB=8,BC=10,AC=6,DB_L平面ABC,且AE〃FC〃BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解:法一如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥・由题意知三棱柱ABC-NDM的体积为V,=|X8X6X3=72.四棱锥D-MNEF的体积为V2三•S悌形'f•DN=|x|x（1+2）X6X8=24,则几何体的体积为V=Vi+Vz=72+24=96.法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'=BB'=CC'-8,所以V几何体2V三枝柱=5,Saabc,AA'=-X24X8-96.B级综合运用练.（多选题）（2021•山东烟台调研）在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是（ABD）A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.故选ABD..（多选题）（2021•湖北武汉模拟）长方体ABCD-ABCD的长、宽、高分别为3,2,1,则（BC）A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到G的最短距离为3V2D.沿长方体的表面从A到G的最短距离为2代解析:长方体的表面积为2X（3X2+3义1+2X1）=22,A错误.长方体的体积为3X2X1=6,B正确.如图⑴所示，长方体ABCD为BCD中,AB=3,BC=2,BB尸1,将侧面ABBA和侧面BCCB展开,如图(2)所示.图⑴ 图⑵图⑴ 图⑵图(3)连接AC,则有AC1=V52+12=V26,即经过侧面ABBA和侧面BCCB时,A到G的最短距离是住;将侧面ABBA和底面ABCD展开,如图(3)所示，连接AC„贝!)有AG="32+32=3近,即经过侧面ABBA和底面ABGD时,A到A的最短距离是3a;将侧面ADDA和底面ABC。展开，如图(4)所示.图(3)At Bi图⑷连接AC„则有AGR42+22=2倔即经过侧面ADDA和底面ABCD时,A到3的最短距离是2遥.因为3V2<2V5<V26,所以沿长方体表面由A到G的最短距离是3V2,C正确,D错误.故选BC.12.(2021•重庆诊断)如图，某文物需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高L8m,体积为0.5m3,其底部是直径为0.9m的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2m,气体每立方米1000元，求气体的费用最少为(B)A.4500元 B.4000元C.2880元 D.2380元解析：因为文物底部是直径为0.9m的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3m,所以由正方体与圆的位置关系可知,底面正方形的边长最少为0.9+2X0.3=1.5(m).又文物高1.8m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2m,所以正四棱柱的高最少为1.8+0.2=2(m),则正四棱柱的体积V=l.5?X2=4.5面).因为文物的体积为0.5柱所以罩内气体的体积为4.5-0.5=4(m)因为气体每立方米1000元,所以气体的费用最少为4X1000=4000(元).故选B.13.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.解析:螺帽的底面正六边形的面积为S=6x|x22Xsin60。=6V3(cm2),正六棱柱的体积为V|=6gX2=12遮(cm)圆柱的体积为V2=JiX0.52X2、(cm?),所以此六角螺帽毛坯的体积为V=V.-V2=(12V3-^)(cm3).答案：(128-泉C级应用创新练.如图,在正四棱锥P-ABCD中,B,为PB的中点,D,为PD的中点，则棱锥A-BCD与棱锥P-ABCD的体积之比是(A)0A.1：4B.3：8C.1：2D.2：3解析:如图，棱锥A-BCDi的体积可以看成是正四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.因为Bi为PB的中点，以为PD的中点,所以棱锥B-ABC的体积和棱锥D-ACD的体积都是正四棱锥P-ABCD的体积的工,棱锥C-PB.D,的体积与4棱锥A-PBD的体积之和是正四棱锥P-ABCD的体积的工,则中间剩下的411棱锥A-BiCDi ^A-B1CD1=^P-ABCDX4^P-ABCD~4^P-ABCD>贝U^A-BxCDi：Up-4BCD=1:4.故选A・.（2021•广东佛山质检）已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足4SAB为等边三角形,且面积为4^3,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为.解析:设圆锥的母线长为1,由4SAB为等边三角形,且面积为4V3,所以ysin解得1=4.又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.又r2+h2=16,解得r=h=2VI,所以圆锥的侧面积S=Jirl=n•2V2X4=8V2Ji.答案：8/八.如图,3X3的正方形纸片,剪去对角的两个1X1的小正方形,然后沿虚线折起,分别粘合AB与AH,ED与EF,CB与CD,GF与GH,得到一几何体“Q”，记“Q”上的棱AC与EG的夹角为a,则下列说法正确的①几何体“Q”中,CG_LAE;②几何体“。”是六面体；③几何体“。”的体积为全④cosa=g.解析:如图所示,取AG,CG,CE析G的中点M,N,0,P,连接AN,EN,MN,ON,MP,OP,0M.由已知可得CE=CA=EG=AG=V5,所以ANJ_CG,NE±CG,又因为ANGNE=N,所以CG_L平面ANE,所以CGJLAE,故①正确；因为AB_LBC,AB1BG,又因为BCGBG=B,所以AB_L平面CBG,同理BEJ_平面CBG,所以平面ACB与平面CBE共面,平面AGB与平面GBE共面，AB与BE共线，所以该几何体为四面体,故②错误；因为BC=BG=1,CG=«,所以4CBG为直角三角形，NCBG=90°,所以Sacbg-XIX1=；,又因为AE_L平面CBG,AE=2AB=2BE=4,所以该几何体的体积为故③正确；MP)AE=2,OP)CG二，2 2 2又因为MP/7AE,OP/7CG,CG±AE,所以MP_LOP,所以M0=VMP2+PO2考,1AON=NM=—AC=—,2 2所以cos七M2_4+Wt又因为ac〃mn,EG#NO,2ON•NM2x- 54所以NONM为异面直线AC,EG所成的角(或其补角)，所以cosaW，故④正确.5答案:①③④17.如图,在4ABC中，CA=CB=6,AB=3,点F是BC边上异于点B,C的一个动点,EF±AB于点E,现沿EF将4BEF折起到4PEF的位置，则四棱锥P-ACFE的体积的最大值为.解析:在4ABC中，CA=CB=V3,AB=3,士A什金工田7TT4曰 DBC2-^BA2-AC23+9-3V3由余弦定理，可得COSB=2叱.酸-二诟俄丁总，所以B=g,设EF=x,贝ljBE=PE=V3x(0<x<—),设NPEB=8,则四棱锥P-ACFE的高h=PEsin9=V3xsin9,四边形ACFE的面积为:X3X，-；x-V3x=^-^x2,2 22 4 2则四棱锥P-ACFE体积为:V3xsin。X(苧-，个《彖(乎-条?)=；(3x-2x，，4当且仅当sin0=1,即eg时，取等号，令y=i(3x-2x3)(o<x<y),贝Uy'=；(3-6x2)4(l+岳)(1-岳)，4 4令寸>0,得0<x咨,令y'<0,得*x4,所以函数y4(3x-2x3)(0<x<^)在(0,噂)上单调递增,在俘,当上单4 L L LL调递减，所以当X#时,y=(3x-2x3)取得最大值乎,所以当0g,x¥时,四棱锥P-ACFE体积的最大值为今答案咚4第2节空间点、直线、平面之间的位置关系

课程标准要求.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义..了解可以作为推理依据的基本事实和定理..能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.必备知识•课前回顾 ®阳效材夯实四条A知识梳理.四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行..用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系点A在平面a内，记作A£a；点A不在平面a内，记作a.(2)点与直线的位置关系点A在直线1上,记作AE1;点A不在直线1上,记作也.(3)直线与平面的位置关系直线1在平面a内，记作lua;直线1不在平面a内，记作ICa.(4)平面a与平面B相交于直线a,记作aGB=a.(5)直线1与平面a相交于点A,记作1Aa=A.(6)直线a与直线b相交于点A,记作aAb=A..空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系而吉外J平行直线；共面直线(I I相交直线；［异面直线:不同在我一个平面内，没有公共点.(2)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点0分别作直线a，//a,b，〃b，把a，与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围：(0,)(3)等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补..空间中直线与平面、平面与平面的位置关系\位置关系图形语言符号语言公共点直线相交aGa=A1个与平行 a /a〃a0个平在平aca无数个面面内平平行/~~7a〃B0个面A_/与相交aaGB=1无数个平/面在重要结论.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面；推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面..异面直线判定的一个方法过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.正点自测1.a是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若a,nua,且AE1114£（1,则111»的位置关系不可能是（D）A.垂直B.相交C.异面D.平行解析:依题意,mGa=A,nua,所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.故选D..已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b(C)A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线,若b〃c,则a〃b,与已知a,b为异面直线相矛盾.故选C..已知平面a和直线1,则a内至少有一条直线与1(C)A.平行B.相交C.垂直D.异面解析：当直线1与平面a斜交时,在平面a内不存在与1平行的直线，所以A错误;当lua时,在平面a内不存在与1异面的直线,所以D错误；当1〃a时,在平面a内不存在与1相交的直线,所以B错误;无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与1垂直.故选C..如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC,BD满足条件时，四边形EFGH为正方形.解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF=EH,所以AC=BD.（2）因为四边形EFGH为正方形，所以EF=EH,且EF_LEH,因为EF〃AC,EH〃BD,且EF=|AC,EH=|bD,所以AC=BD,且AC±BD.答案：(1)AC=BD(2)AC=BD,且ACLBD关键能力•课堂突破糜考点一平面的基本性质及应用.（多选题）下列命题中正确的有（BCD）A.一条直线和一个点可以确定一个平面B.经过两条相交直线,有且只有一个平面C.过两条平行直线有且只有一个平面D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点一定在两个平面的交线上解析:对于A选项，当这个点在直线上时,无法确定一个平面,故A错误;对于B,C选项，均为基本事实的推论,故B,C正确;对于D选项,交点分别在两条直线上,也分别在两个平面内，必然在交线上,故D正确.故选BCD..下列命题正确的是（D）A.两个平面如果有公共点，那么一定相交B.两个平面的公共点一定共线C.两个平面有3个公共点一定重合D.过空间任意三点,一定有一个平面解析:如果两个平面重合,则排除A,B两项;两个平面相交,则有一条交线,交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项;而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点.故选D.3.如图所示,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上，且BG：GC=DH:HC=1：2.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.证明：⑴因为E,F分别为AB,AD的中点，所以EF/7BD.在4BCD中,照=器=；,所以GH〃BD,所以EF〃GH,所以E,F,G,H四点共GCnCL面.⑵因为EGnFH=P,PeEG,EGu平面ABC,所以P£平面ABC.同理P£平面ADC,所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABCG平面ADC=AC,所以P£AC,所以P,A,C三点共线.一题后悟通L判断、证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合..判断、证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上..判断、证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.幅考点二空间两条直线的位置关系口角度-两条直线位置关系的判定⑴如图，点N为正方形ABCD的中心,AECD为正三角形,平面ECD1_平面ABCD,M是线段ED的中点，则()BM=EN,且直线BM,EN是相交直线BM/EN,且直线BM,EN是相交直线BM=EN,且直线BM,EN是异面直线BM#EN,且直线BM,EN是异面直线(2)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(填序号).解析:(1)如图，取CD的中点F,DF的中点G,连接EF,FN,MG,GB,BD,BE.因为点N为正方形ABCD的中心,所以点N在BD上,且为BD的中点.因为△ECD是正三角形,所以EF1CD.因为平面ECD,平面ABCD,所以EF_L平面ABCD,所以EF±FN.不妨设AB=2,则FN=1,EF=V3,所以ENf/FN2+Ef2=2,因为M,G分别是ED,DF的中点，所以MG/7EF,所以MGJ_平面ABCD,所以MG,BG.MG=iEF=y,BG=VCG2+BC2=J(|)2+22=1,所以BM=VMG2+BG2=V7,所以BM/EN.因为BM,EN都是ADBE的中线，所以BM,EN必相交.故选B.⑵①中GH〃MN;③中GM〃HN,且GMHHN,所以直线GH与MN必相交；②④中直线GH与MN是异面直线.答案：(1)B(2)②④解题策略在直接判断不好处理的情况下,反证法、模型法(如构造几何体:正方体、空间四边形等)和特例排除法是解决此类问题的三种常用便捷方法.

口角度二异面直线所成的角(BED(1)在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=1,AA^V3,则异面直线AD1与DBi所成角的余弦值为（）A-iB-Td-T（2021・山东青岛模拟）如图,在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-ABCD中,AAl2AB=2,则异面直线A.B与AM所成角的余弦值为（）A.j5 5c.力，5 5解析：（1）法一如图,补上一个相同的长方体CDEFXDEE,连接DEbBE.易知AD1/7DE„则NBQEi为异面直线AD.与DBi所成的角（或其补角）.因为在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=1,AA产值,所以--

E.I2+(6)2=2,DBfJI2+12+(V3)2-Vs,BE=--

E.冬掰+A^yJl2+22=V5,在△BiDEi中，由余弦定理,得cosZBiDE产立辱声当即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为当.故2x2xV55 5选C.法二AMB如图,连接BD„交DB1于0,取AB的中点M,连接DM,0M,易知0为BD,的中点，所以AD/0M,则NM0D为异面直线Ab与DBi所成的角（或其补角）.因为在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=1,AAfV3,所以AD尸JaD2+DD1=2,DM=JaD2+（：AB）2=y,DB尸Jab2+AD2+BB^=V5,所以OM^AD尸1,0D《DB尸宗于是在△DMO中,由余弦定理,得cosZMOD-1+（2）——?一卓,即异面直线ADi与DBi2xlx^5所成角的余弦值为故选C.AB连接BC,易证BG〃ADi,则NABG即为异面直线A出与ADi所成的角（或其补角）.连接AC,由AB=1,AAf2,易得A£=dI,AB=BC尸相故cosNarc尸例誓警W，即异面直线A出与AD所成角的余弦值为玄故选2•4］B-BCi5 5D.解题策略

求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步曲：“一作、二证、三求”.①一作:根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②二证:证明作出的角是异面直线所成的角；③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角；④其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题,进而求解.［针对训练］如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为(A.1B.2C.3D.4解析:还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.故选C.2.正六棱柱ABCDEF-ABCDER的底面边长为1,侧棱长为低,则这个棱柱的侧面对角线E.D与BG所成的角的大小是.解析：BC如图所示,连接A.B,可知AiB〃ER所以NABG是异面直线E,D与BC,所成的角（或其补角）.连接AC,可求得AC=GB=BA尸方,所以NABC尸60°,即侧面对角线&D与BG所成的角是60°.答案：60°一备选例题CSD已知直三棱柱ABC-AiBC中，NABC=120°,AB=2,BC=CG=1,则异面直线AB,与BC,所成角的余弦值为（）.V3nV15cVionV3解析:法一如图所示,将直三棱柱ABC-ABG补成直四棱柱ABCD-ABCD,连接AD„B.D„则ADi〃BG,所以NB】ADi或其补角为异面直线AB】与B3所成的角.因为/ABC=120。，AB=2,BC=CG=1,所以ABfVS,AD产VI.在4BDG中，NBCD尸60°,BC=1,DC=2,所以B,D,=V12+22-2x1x2xcos60°=遮所以cosZBAD尸争二祟故选C.法二如图，设M,N,P分别为AB,BBi,BC的中点,连接MN,NP,MP,则MN〃ABi,NP〃BG,所以NPNM或其补角为异面直线AB,与BG所成的角.易知MN=1aB4,NP^BC^y.取BC的中点Q,连接PQ,MQ,可知APOM为直角三角形，PQ=1,MQ=|AC.在4ABC中，AC=AB2+BC2-2AB・BCcosZABC=4+1-2X2X1X(-1)=7,所以AC=V7,MQ=y.在RtAMQP中,PM=jMQ2+PQ2考,则在aPMN中,cosNPT营泮生嚼产一二半所以异面直线AB.与BC.2MN•NP 2x—X— 5所成角的余弦值为?.故选C.C例2)A如图,三棱锥A-BCD中,AC±BD,E在棱AB上,F在棱CD上,并使AE：EB=CF：FD=m(m>0),设a为异面直线EF和AC所成的角，B为异面直线EF和BD所成的角，试求a+B的值.解：A过点F作MF〃BD,交BC于点M,连接ME,则CM：MB=CF：FD=m,又因为AE：EB=CF：FD=m,所以CM：MB=AE：EB,所以EM〃AC,所以a=/MEF,B=/MFE,异面直线AC与BD所成的角为NEMF,因为AC_LBD,所以NEMF=90°,所以a+B=90°.■:里口日壮山， 灵活于混密致爽.诧❽选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面的基本性质及应用3,4空间两条直线的位置关系1,2,5,6,7,8,9综合问题1011,12,13,14,15,1617,18A级基础巩固练1.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，则异面直线BC与EF所成角的大小为（C）AERA.30° B.45°C.60° D.90°解析:连接B,D„DC（图略）,则BD〃EF,故NDBC为所求的角，又BD=BC=DC所以NDEC=60°.故选C.2.a,b,c是两两不同的三条直线，下列四个命题中，真命题是（C）A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a〃b,则a,b与c所成的角相等D.若a_Lb,b_Lc，则a/7c解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a_Lb,b±c,则a,c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C..给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（B）A.①B.①④C.②③D.③④解析:①显然正确;②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交,故③错误;④显然正确.故选B..如图所示，平面an平面B=1,A£a,Bea,ABG1=D,C£B,C11,则平面ABC与平面B的交线是（C）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析：由题意知,D£l,luB,所以D£8,又因为DeAB,所以D£平面ABC,所以点D在平面ABC与平面B的交线上.又因为C£平面ABC,C£B,所以点C在平面B与平面ABC的交线上,所以平面ABCG平面B-CD.故选C.

.教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该尺子所在直线（B）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.异面解析：由题意,尺子所在直线若与地面垂直，则在地面上总有这样的直线，使得它与尺子所在直线垂直,若尺子所在直线与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直.综上,教室内有一尺子,无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，使得它与尺子所在直线垂直.故选B..（2021•甘肃兰州模拟）如图所示,在正方体ABCD-ABCD中，若点E为BC的中点，点F为BC的中点，则异面直线AF与GE所成角的余弦值为（A.-A.-3C匹2B.—3D坐5解析:不妨设正方体的棱长为1,取A,D.的中点G,连接AG,FG（图略）,易知GA〃GE,则NFAG（或其补角）为异面直线AF与C.E所成的角.在2=|,FG=1,△afg中,ag=Jm+G)2考,AF=J12+w)于是cos/FAG-、2+兔2T2T故选b.2=|,FG=1,2x；x苧 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,0为CD上的动点,Vp-04B恒为定值,且4PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是.解析：因为Vp.04B为定值,所以Szubo为定值，即0到AB的距离为定值.因为。为CD上的动点,所以CD〃AB,所以NPDC即为异面直线PD与AB所成的角.因为aPDC为正三角形，所以NPDC=60°.所以直线PD与直线AB所成的角为60°.答案：60。.已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条.解析:如图，作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,共4条.答案：4.已知在四面体ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EF1AB,则EF与CD所成角的大小为.解析:如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为aABD,△ACD的中位线.A由此可得GF〃AB,且GF=^AB=1,GE//CD,且GE=1CD=2,所以NFEG或其补角即为EF与CD所成的角.又因为EF±AB,GF〃AB,所以EF1GF,因此,在RtAEFG中，GF=1,GE=2,sinNFEG至△，可得NFEG=30°,GE2所以EF与CD所成角的大小为30°.答案：30。.如图所示,正方体ABCD-A.B.C.D,中,E,F分别是AB和AAi的中点.求证：(DE,C,Di,F四点共面；(2)CE,DF,DA三线共点.证明：(1)如图，连接EF,CDbA.B.因为E,F分别是AB,AAi的中点，所以EF〃AR又因为AB〃CDi,所以EF〃CD,所以E,C,»,F四点共面.(2)因为EF〃CDi,EF<CDi,所以CE与D,F必相交,设交点为P,则由P£直线CE,CEu平面ABCD,得P£平面ABCD.同理PR平面ADD.Ai.又平面ABCDn平面ADD,A1=DA