专题16：球的内切外接问题高考真题集锦(解析版)

1、试卷第 页，总10页试卷第 页，总10页专题16：球的内切外接问题高考真题集锦（解析版）一、单选题1.2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）已知A,BC为球O的球面上的三个点，O为ABC的外接圆，若O的面积为4n,AB=BC=AC=OO则球O的表面积为（）A.64nB48nC36nD32n【答案】A【分析】由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆01半径为r，球的半径为R，依题意，得兀r2=4兀，.r=2，:ABC为等边三角形，由正弦定理可得AB=2rsin60。=2爲.OO=AB=2屈，根据球的截面

2、性质OO丄平面ABC,/.OO丄OA,R=OA=002+OA2=OO2+r2=41v11x1.球O的表面积S=4兀R2=64兀.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.2.2018年全国卷III理数高考试题设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9込，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A.12、/3B1沁3C243D54打【答案】B【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当DM丄平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大，然后进行计算可得.详解：如图所示，点M为三角形ABC的

3、中心，E为AC中点，当DM丄平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大此时，0D=OB=R=4S=3AB2=93ABC4：Ab=6,点M为三角形ABC的中心BM=-BE=2.33.RtOMB中，有OMOB2-BM2=2DM=OD+OM=4+2=6)=1x9爲x6=18朽D-ABCmax3故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM丄平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到BM=3BE=2朽，再由勾股定理得到OM,进而得到结果，属于较难题型BC=Q32016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新

4、课标3卷）在封闭的直三棱柱一二内有一个体积为V的球，若y厂AA-=3，则该球体积V的最大值是932产皈云兀ABCD【答案】B【解析】试题分析：设二乂的内切圆半径为，则11g血一（6+呂+10）了=_丈6:呂=了=2=，故球的最大半径为2222343：9.J-；：-:，故选B.考点：球及其性质.42019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点,ZCEF=90。，则球O的体积为AB4寸6兀C2&Dv6k【答案】D【分析】先证得PB丄平面PAC，再求得PA=PB=PC=迈，从而

5、得P-ABC为正方体一部分,进而知正方体的体对角线即为球直径,从而得解.【详解】解法一：PA=PB=PC,AABC为边长为2的等边三角形P-ABC为正三棱锥,PB丄AC，又E，F分别为PA、AB中点，EF/PB:.EF丄AC，又EF丄CE，:EAC=C,EF丄平面PAC，叨丄平面PAC，.ZAPB=90。,.PA=PB=PC22，.P-ABC为正方体一部分，2R=J2+2+2=i6，即R=,/.V=nR3=兀x=、i6兀，故选D.2338试卷第 页，总10页试卷第 页，总10页EFIIpB，且EF=2PB=x,AABC为边长为2的等边三角形，:.CF=又ZCEF=90。.CE斗3x2,AE=-

6、PA=x2X2+4GX2)AAEC中余弦定理cosZEAC=，作PD丄AC于d,PA=PC2x2xxAD1:2x2+1二2:.x2二12D为AC中点，cos/EAC=PA=2X:.PA=PB=PC=迈，又AB=BC=AC=2:PA,PB,PC两两垂直，：v-3鈕-3十二吊，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决52016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为32A.12兀B.3兀C.8兀D4兀【答案】A【解析】试题分析：因

7、为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为2.3所以正方体的外接球的半径为*3,所以该球的表面积为4兀（、；3）2=12兀，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为亘、2和込.2226.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若盲AA1=3f则该球体积V的最大值是4jtA.bFC.3ZD.【答案】B【解析】试题分析：设丄工的内切圆半径为，则7.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II）已知上二是球。的球面上两点

8、,_.心=：，二为该球面上的动点若三棱锥&-出体积的最大值为36,则球&的表面积为（）A.36nB.64nC.144nD.256n【答案】C、2、2试卷第 页，总10页试卷第 页，总10页试卷第 页，总10页详解】111设球O的半径为R，此时V二V=7怎R2xR=7R3二36，故R=6，则O-ABCC-AOB326球O的表面积为S=4兀R2=144兀，故选C.考点：外接球表面积和椎体的体积8.2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）新课标文科数学设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.3兀a2B.6兀a2C.12兀a2D.24兀a2【答案】B【

9、详解】方体的长、宽、高分别为2a,a,a，其顶点都在一个球面上，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球直径为：ba所以球的半径为岁a所以球的表面积是4兀p622丿=6a2兀故选B9.（2017新课标全国皿理科）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.nB.3nTC.D.答案】B【解析】1绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC=1,AB=-结合勾股定理，底面半径r=12-由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V-nr2h-n伴X1-3n4再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直

10、径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.二、填空题102017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径若平面SCA丄平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S-ABC的体积为9,则球0的表面积为【答案】36n【解析】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径，若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9,可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r,11可得3%2%2rxrxr9，解得r=3.球0的表面积为：4兀r236兀.点睛：与球有关的

11、组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分试卷第 页，总10页试卷第 页，总10页析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.112017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在圆柱0O2内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱qVO2的体积为，球O的体积为v2，则百的值是23【答案】2【解析】V_兀r2x2r_33设球半径为r，则V1=4=2故答案为32兀厂3厶23点睛:空间几何体体积问

12、题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解12.2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点,ZCEF=90。，则球O的体积为A.8、；6兀B.4*6兀C.2；6兀D.；6兀【答案】D【分析】先证得PB丄平面PAC，再求得PA=PB=PC=41，从而得P-ABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一：PA二PB二PC,AABC为边长为2的等边三角形/.P-ABC为正三棱锥,.PB丄AC，又E,F分别为PA、AB中点,.EFIIPB.EF丄AC，又EF丄CE，:EAC二C,/.EF丄平面PAC，叨丄平面PAC，aZAPB=90。,.PA=PB=PC=2，/.PABC为正方体一部分，aEFIIPB，且EF=*PB=x，AABC为边长为2的等边三角形,ACF=片3又ZCEF=90。.CE=【3x2,AE=1PA=x2PA=PCx2+4-Gx2)AAEC中余弦定理cosZEAC=，作