二次函数知识点及典型例题

1、二次函数知识点及典型例题21 / 174、二次函数的几何变换二次函数:、二次函数的图象和性质(I ) y=a(x h) 2+k (a 0)的图象和性质分析式a>0Y=ax2+ky=a(x h) 2y=a(x h) 2+k图象a<0特色极点在原点极点在y轴上张口方向a>0,张口向上；av0 张口向下同前形状a iw样 抛物线 的形状大小同样.察越大，张口越小a 越小，张口越大.同前极点坐标(0, 0)(0, k)极点在x轴上pita.If-同前同前同前同前.(h, 0)(h, k)对称轴直线x=h直线x=h函数最值若 a>0 ,y有最小值是若 a<0 ,当x=00.

2、当x=0时,时,若a>0,当y有最小值是若a<0,当x=0k.x=0时,时,若a>0 ,当x=h时, y有最小值是0.若a<0 ,当x=h时，若 时,k.若a>0 ,当 x=hy有最小值是a<0 ,当 x=hy有最大值是0.y有最大值是k.y有最大值是0.时，y有最大值是 k.增减性若 a>0 ,当 xw 0 时，y随x的增大而减 小，当x>0时，y随x 的增大而增大 .若 a<0 ,当 x< 0 时，y随x的增大而增 大，当x>0时，y随x 的增大而减小.同前若 a>0 ,当 xw h 时，y随x的增大而 减小，当x&g

3、t;h时，y 随x的增大而增大.若 a<0 ,当 x< h 时，y随x的增大而 增大，当x>h时，y 随x的增大而减小.同前平移y=ax2+k的图象是 由y=ax2的图象沿y 轴向上或向下平移k|个单位获取的，k为正向上，k为负向 下.y=a(x h) 2的图象是 由y=ax2的图象沿x 轴向左或向右平移|h|个单位获取的，h 为正向右，h为负向 左.y=a(x h) 2+k 的图象 是由y=ax2的图象沿 x轴向左或向右平移h个单位，h为正向 右，h为负向左；再 沿直线x=h向上或 向下平移| k个单 位，k为正向上，k 为负向下获取的.(n ) y=ax2+bx+c (a

4、 0)的图象和性质/图象a>0飞/a<03VO 1x/I 1.张口方向a>0,张口向上a<0,张口向下2.形状a忖样抛物线的形状大小同样.出ia越大，张口越小；a越小，张口越大.3.极点坐标b 4ac b2(,)2a4a4.对称轴b直线x2a5.函数最值，一fb右a>0，当x时，y有最小值是22a4ac b /，一fb右a<0 ,当x:时，y有最大值是22a4ac b /4a4a6.增减性b右a>0，当xR时，y随x的增大而2a减小；当x七-时，y随x的增大而增2a大.b右a<0 ,当x 时，y随x的增大而增 2ab大；当x一时，y随x的增大而减

5、小.2a7.与坐标轴的 交点坐标与x轴交点坐标 >0与x轴有两个公共点(xi, 0), (x2, 0); =0与x轴有一个公共点(,0);2a <0 与x轴没有公共点.与y轴交点坐标(0, c)a确立张口方向和张口大小 .a、b共同确立对称轴地点：a, b同号对称轴在 y轴左边；a, b 异号对称轴在 y轴右边；b=0y ax 2 c对称轴是 y轴.c确立与y轴父点地点： c>0 与y轴父点在y轴正半轴；c<0与y轴父点在y轴负半轴；c=0y ax 2 bx抛物线过原点.与x轴公共点个数：>0 与x轴有两个公共点 （x1 , 0），（x 2, 0） ; =0与x轴

6、有一个公共点（ 上，0） ； <0与x轴没有公共点.2a特别地a+b+c=0图象过点（1,0）; a- b+c=0 图象过点（-1, 0）、待定系数法求二次函数的分析式1、一般式：y ax2 bx c .已知图像上三点或三对 x、y的值，往常选择一般式2、极点式：y a x h 2 k .已知图像的极点或对称轴，往常选择极点式。3、交点式：已知图像与x轴的交点横坐标 xi、x2 ,往常采用交点式：y a x xi x x24、极点在原点，可设分析式为y=ax2。25、对称轴是y轴（或许极点在 y轴上），可设2分析式为 y= ax +c。6、极点在x轴上，可设分析式为 y a x h 。7

7、、抛物线过原点，可设分析式为 y=ax2+bx四、抛物线的对称性1、抛物线与x轴有两个交点（xi, 0） （x2, 0）,则对称轴为x= x 1 x 2 o22、抛物线上有不一样的两个交点（m, a） （n, a）则对称轴为x=mn。22 b3、抛物线y ax2 bx c （ aw 0）与y轴交点对于对称轴的对称点为 （，c）。a五、二次函数与一元二次方程的关系对于抛物线y ax 2 bx c (aw0),令y=0,即为一元二次方程 ax 2 bx c 0 ,元二次方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标。要分三种状况:1、0抛物线与x轴有两个不一样的交点(2、3、八、(-b - , b 2 4

8、ac0)2a鉴另1式 =b2-4ac=02鉴别式= b -4应0b有韦达定理可知 x1+x2 = -_a抛物线与x轴有一个交点抛物线与x轴无交点。二次函数与一元二次不等式的关系ax 2bx2a1、a>0: (1)c>0的解集为:x<x 或 x >x (2)ax2ax 2bxc<0的解集为:bx2、a<0:(1)c>0的解集为:(2)ax2bxc<0的解集为:2且jl-b b 4ac , 0)2acx2=_oaxKx<x2 (xi<x2)x < x< x (xx<x1 或 x>x2(xkx2)。七、二次函数的应用

9、1、面积最值问题。2、长度、高度最值问题。3、利润最大化问题。4、利用二次函数求近似解例1、抛物线y ax 2 bx c与直线y ax c在同一平面直角坐标系中的图像大概是B,C.D.2也L2、已知二次函数 y=-x +bx-8的最大值为8,则b的值为 ()A、8B、-8C、16D、8 或-8鲤3已知一抛物线与x轴的交点是A (-2,0 ) B (1,0 )且经过点C (2,8 )(1)求该抛物线的分析式；(2)求该抛物线的极点坐标、2丁212- 5姆4.已知二次函数y=3 (x- 1) +k的图象上有三点 A (" , y ) , B ( 2, y ) , C (“y3 ),则y1

10、、y2、平的大小关系为。2纲=5、把抛物线y=x +bx+c的图象先向右平移 3个单位，再向下平移 2个单位，所得2的图象分析式是 y= x -3x+5,贝1J a+b+c=例6一次函数Y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于 A (-8,0 )和点B (0,4 ),线段AB垂直均分线CD交x轴与点C交于AB于点D,求：1、确立直线AB的分析式2、求过A、B、C三点的抛物线分析式3、抛物线对应的二次函数有最大值仍是最小值当X等于几时，相应的最大值或最小值是多少例7已知抛物线与 x轴交于点A (-2 , 0) , B (4, 0),与y轴交于点C (0, 8).抛 物线极点为D,直线CD交x轴于点

11、E,过点B做x轴的垂线交直线CD于点F(1)求抛物线的分析式及其极点 D的坐标;(2)求直线CD的分析式(3)在线段BF上能否存在点P,使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距 离。假如存在，求出点P坐标。22例8 (2013?永州)如图，已知二次函数 y= (x- m) - 4m ( m> 0)的图象与 x轴交于A、B两点。(1)写出A、B两点的坐标(坐标用 m表示)；(2)若二次函数图象的极点 P在以AB为直径的圆上，求二次函数的分析式；(3)设以AB为直径的。M与y轴交于C、D两点，求CD的长.例9、(2010常德)如图，已知抛物线 y= x J+bx+c与x轴交于点A ( -4

12、 , 0)和B (1,20)两点，与y轴交于C点.(1)求此抛物线的分析式；(2)设E是线段AB上的动点，作EF /AC交BC于F,连结CE,当 CEF的面积是 BEF面积的2倍时，求E点的坐标；(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q,当P 点运动到什么地点时，线段 PQ的值最大，并求此时P点的坐标.例10、(1)已知二次函数 y=ax2+bx+c ( a# 0)的图象如下图，有以下结论： b2-4ac> 0; abc> 0; 8a+c>0; 9a+3b+c < 0 止匕中,正确的结论是(2)已知二次函数 y=ax2+bx+c (a*

13、0)的图象如下图，有以下5个结论: abc> 0; be a+c; 4a+2b+c > 0; 2c< 3b; a+b > m ( am+b) , ( m w 1 的实数).此中正确的结论有 (填序号)(3) ( 2013浙江义乌) 如图，抛物线y =ax2 + bx +c与x轴交于点A(- 1,0),极点 坐标为(1 , n)，与y轴的交点在(0 ,2)、(0 , 3)之间(包括端点)，则以下结论：当 x>3时，y< 0;3a + b> 0;1 WaW-;3<n<4中，正确的选项是 ).(3A.B,C .D.例11、(2005?绵阳)有一个

14、抛物线形的拱形地道，地道的最大高度6m,跨度为8m,把它放在如下图的平面直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在地道壁上点 P (如图)安装一盏照明灯，灯离地面高. 求灯与点B的距离.例12、 (2012?嘉兴)某汽车租借企业拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可所有租出；当每辆车的日租金每增添50元，未租出的车将增添 1辆；公司均匀每天的各项支出共4800元,设企业每天租出x辆车时，日利润为 y元.(日收益=日租金收入一均匀每天各项支出) (1)企业每天租出x辆车时，每辆车的日租金为 元(用含x的代数式 表示)；(2)当每天租出多少辆时，租借企业日利

15、润最大最大是多少元(3)当每天租出多少辆时，租借企业的日利润不盈也不亏例13、如图，地道的截而由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长 BC为8m,宽AB 为2m,以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，成立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，极点 E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的分析式；(2)假如该地道内设双行道，现有一辆货运卡车高为m , 这辆货运卡车可否经过该地道经过计算说明.例14、在坡面为OA的斜坡上，有两根电线杆 OC, AD,如图，以地平面为 x轴，OC所在直线为y轴，成立平面直角坐标系，已知 OA=41米，AB=9米，OC=AD=10米，坡面中点F处

16、与电线的距离£尸=米(1)求电线所在的抛物线分析式；(2)若平行于y轴的随意直线x=k交抛物线于点M,交坡面 OA于点N,求MN的最小值.练习1、（ 2013 嘉兴）一次函数 y=ax+b（a不等于0）的图像与x轴的交点坐标是（-2,0）, 则2抛物线y=ax +bx的对称轴为（）A. 直线x=1 B.直线x=-2 C. 直线x=-1 D. 直线x=-42、二次函数y=-2x 2+4x+1的图象怎样挪动就获取y=-2x 2的图象（）A.向左挪动1个单位，向上挪动 3个单位B.向右挪动1个单位，向上挪动 3个单位C.向左挪动1个单位，向下挪动3个单位D.向右挪动1个单位，向下挪动3个单

17、位3、把抛物线y=ax2 +bx+c向左平移2个单位,再向下平移1个单位后，恰巧与抛物线 y=2x2+x+1重合，求出a, b, c的值，并画出函数的表示图。4、已知二次函数y=ax2 +bx+c（a W0）图象的极点P的横坐标是4,图象交x轴于点A（m,0） 和点B,且m>4,那么AB的长是（）.A、4+m B 、m C 、2m-8D 、8-2m5、当2 x 3时，函数yx2 2x 3的最大值为 6、如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面订交于A, B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9m , AB=36m 点E到直线AB的距离为7m ,则DE的长为,D, E为拱桥

18、底部的两点，且 DE/AB,7、若抛物线y=x2 +bx+c与x轴只有一个交点，且过点 A ( m, n) .B ( m+6, n),贝1n=8、已知函数住7犷-1F江7，若使= k成立的x值恰巧有三个，则k的值为/、心-5-1（贮办A. 0 B .1 C .2 D . 39、在“母亲节”前夜，我市某校学生踊跃参加“关爱贫穷母亲”的活动，他们购进一 批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫穷母亲.经试验发现，若每件按 24元的价钱销售时，每天能卖出 36件；若每件按29元的价钱销 售时，每天能卖由 21件.假设每天销售件数 y （件）与销售价钱 x （元/件）知足一个

19、 以x为自变量的一次函数.（1）求y与x知足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其余要素的状况下，销售价钱定为多少元时，才能使每天获 取的利润P最大10、（1） （2012?衡阳）如图为二次函数 y=ax2+bx+c （ a*0）的图象，则以下说法：a> 02a+b=0 a+b+c >0当-1<x< 3时，y>0此中正确的个数为 （）（2）（黄石市）已知二次B、2C、 3D、y ax 2 bx c的图象如下图，有以下结论： a bc 0 :a b c 1 :abc 0 ;4a 2b c 0 ;c a 1此中所有正确结论的序号是（）A.（3

20、）（南充） 对称轴为x =如图是二次函数 y=1 ,给由四个结论：ax2+ bx+ c图象的一部分，图象过点A ( 3, 0),b2> 4ac ; (2)2 a+ b=0 ;a b + c=0 ;5a v b.其中正确结论是（）A、B、（4）（江苏省镇江市）函数y x2（m为常数）D、的图象如图，假如x a时，y 0;那么x aA. y 0（5）（山东省滨州市）若A （-4y1)B ( -3，C (1D . y my3)为二次函数 y=x2 +4x-5的图象上的三点，则y1a、y < y < y123y2,y3的大小关系是(、y < y < yC213y <

21、y <y132211、(2011?贵阳)如下图，二次函数y=-x +2x+m的图象与x轴的一个交点为A ( 3,(1)求m的值； (2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点 D (x, v)(此中x> 0, y> 0)使$ abd=Sabc,求点D 的坐标.12、如图，已知抛物线y2x bx与直线y 2x交于点O (0, 0) , A ( a , 12),点2B是抛物线上O, A之间的一个动点，过点 B分别作x轴、y轴的平行线与直线 OA 交于点C, E。(1)求抛物线的函数分析式；(2)若点C为OA的中点，求BC的长；(3)以BC , BE为边结构矩形 之间的关系式。BCDE ,设