二次函数公式(精华)之欧阳数创编

1、欧阳数创编二次函数知识点汇总二次函数知识点汇总时间：2021.03.02创作：欧阳数1.1.定义：一般地，如果定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，是常数，a 0)，那，那么么y叫做叫做x的二次函数的二次函数. .2.2.二次函数二次函数y ax2的性质的性质(1)(1)抛物线抛物线y ax2（a 0）的顶点的顶点 是是坐标坐标 原原点点，对，对 称称轴是轴是y轴轴.(2).(2)函数函数y ax2的图像与的图像与a的符号关系的符号关系. .当当a 0时时抛物线开口向上抛物线开口向上顶点为其最低点；当顶点为其最低点；当a 0时时抛物线开口向下抛物线开口向下顶点为其最高点顶点为

2、其最高点3.3.二次函数二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于的图像是对称轴平行于 ( (包括重包括重合合) )y轴的抛物线轴的抛物线. .224.4.二次函数二次函数y ax bx c用配方法可化成：用配方法可化成：y ax h k的形的形b4 ac b. .， k 式，其中式，其中h 2 a4 a25.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2；y ax2 k；y ax h2；y ax h2 k；y ax2bx c. .6.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. .a决定抛物线的开口

3、方向：决定抛物线的开口方向：当当a 0时，开口向上；当时，开口向上；当a 0时，开口向下；时，开口向下；a相等，相等，抛物线的开口大小、形状相同抛物线的开口大小、形状相同 . .平行于平行于y轴轴( (或重合或重合) )的直线记作的直线记作x h. .特别地，特别地，y轴记轴记作直线作直线x 0. .7.7.顶点决定抛物线的位置顶点决定抛物线的位置. .几个不同的二次函数，如果二次几个不同的二次函数，如果二次项系数项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同相同，只是顶点的位置不同. .8.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛

4、物线的顶点、对称轴的方法b 4acb2(1)(1) 公公 式式 法法 ：y ax bxc ax 2a4ab 4acb2（，），对称轴是直线，对称轴是直线xb. .2a4a2a22， 顶顶 点点 是是(2)(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为的形式，得到顶点为 ( (h, ,k) )，对称轴是，对称轴是x h. .欧阳数创编欧阳数创编(3)(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称图形，所以对称轴的连线的垂直平

5、分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. .用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失才能做到万无一失9.9.抛物线抛物线y ax2bx c中，中，a,b,c的作用的作用(1)(1)a决定开口方向及开口大小，这与决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的中的a完全一样完全一样. .(2)(2)b和和a共共同同决决定定抛抛物物线线对对称称轴轴的的位位置置. .由由于于抛抛物物线线yax2bxc的对称轴是直线的对称轴是直线x b, ,故：故：2ab 0时，对称轴为时，对称轴为y轴；轴；

6、b 0( (即即a、b同号同号) )时时, ,对称对称a轴在轴在y轴左侧；轴左侧；b 0( (即即a、b异号异号) )时时, ,对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧. .a(3)(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线y ax2bx c与与y轴交点的位置轴交点的位置. .当当x 0时，时，y c，抛物线，抛物线y ax2bx c与与y轴有且只有轴有且只有一个交点一个交点(0(0，c) )：c 0，抛物线经过原点，抛物线经过原点; ; c 0, ,与与y轴交于正半轴；轴交于正半轴；c 0, ,与与y轴交于负半轴轴交于负半轴. .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立以上三点中，当结论和条件互换时，仍成

7、立. .如抛物线的对如抛物线的对称轴在称轴在y轴右侧，则轴右侧，则b 0. .a10.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式函数解析式y ax2y ax2 k开口方向开口方向对称轴对称轴x 0( (y轴轴) )顶点坐标顶点坐标(0,0)(0,0)(0,(0,k) )( (h,0),0)( (h, ,k) )b4ac b2( (，) )2a4a当当a 0时时2y ax h开口向上开口向上2y ax h k当当a 0时时开口向下开口向下y ax2bx cx 0( (y轴轴) )x hx hbx 2a11.11.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法

8、求二次函数的解析式 (1) (1)一般式：一般式：y ax2bx c. .已知图像上三点或三对已知图像上三点或三对x、y的的值，通常选择一般式值，通常选择一般式. . (2) (2)顶点式：顶点式：y ax h2 k. .已知图像的顶点或对称轴，通已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式常选择顶点式. . (3) (3)交点式：已知图像与交点式：已知图像与x轴的交点坐标轴的交点坐标x1、x2，通常选用，通常选用交点式：交点式：y ax x1x x2. .欧阳数创编欧阳数创编12.12.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 (1) (1)y轴与抛物线轴与抛物线y ax2bx c得交点为得交点为(

9、(0 , c) ) (2) (2)与与y轴平行的直线轴平行的直线x h与抛物线与抛物线y ax2bx c有且只有有且只有一个交点一个交点( (h, ,ah2 bh c).). (3) (3)抛物线与抛物线与x轴的交点轴的交点二次函数二次函数y ax2bx c的图像与的图像与x轴的两个交点的横坐轴的两个交点的横坐标标x1、x2，是对应一元二次方程，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根的两个实数根. .抛物线与抛物线与x轴的交点情况可以轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点有两个交点 0抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交；有

10、一个交点有一个交点( (顶点在顶点在x轴上轴上) ) 0抛物线与抛物线与x轴相轴相切；切；没有交点没有交点 0抛物线与抛物线与x轴相离轴相离. .(4)(4)平行于平行于x轴的直线与抛物线的交点轴的直线与抛物线的交点同同(3)(3)一样可能有一样可能有 0 0 个交点、个交点、1 1 个交点、个交点、2 2 个交点个交点. .当有当有2 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则，则横坐标是横坐标是ax2bx c k的两个实数根的两个实数根. .(5)(5) 一一 次次 函函 数数y kxnk 0的的 图图 像像l与与 二二 次次 函函 数数y

11、ax2bx ca 0的图像的图像g的交点，由方程组的交点，由方程组y kx n的解的数目来确定：的解的数目来确定：2y ax bx c方程组有两组不同的解时方程组有两组不同的解时l与与g有两个交点有两个交点; ;方程组只有一组解时方程组只有一组解时l与与g只有一个交点；方程只有一个交点；方程组无解时组无解时l与与g没有交点没有交点. .(6)(6)抛物线与抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c0，bx2， 0，由由于于x1、x2是是方方程程与与x轴轴两两交交点点为为ax1，bcx x ,x x ax bx c 0的两个根，故的两个根，故1212aa

12、21313二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：(1)(1)一元二次方程一元二次方程y ax2bx c就是二次函数就是二次函数y ax2bx c当当函数函数 y y 的值为的值为 0 0 时的情况时的情况(2)(2)二次函数二次函数y ax2bx c的的图图象与象与x轴的交点有三种情轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函欧阳数创编欧阳数创编数数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有交点时，交点的横坐标轴有交点时，交点的横坐标就就 是是 当当y 0时时 自自 变变 量量x的的 值值 ， 即即 一一 元元

13、 二二 次次 方方 程程ax2bxc 0的根的根(3)(3)当二次函数当二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有两个交点时，则轴有两个交点时，则一元二次方程一元二次方程y ax2bx c有两个不相等的实数根；当有两个不相等的实数根；当二次函数二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有一个交点时，则一轴有一个交点时，则一元二次方程元二次方程ax2bxc 0有两个相等的实数根；当二次函有两个相等的实数根；当二次函数数y ax2bx c的图象与的图象与x轴没有交点时，则一元二次方轴没有交点时，则一元二次方程程ax2bxc 0没有实数根没有实数根14.14.二次函数的应用：二次函数的应用：(1)(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大求函数的最大( (小小) )值；值；(2)(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( (小小) )值值15.15