概率论与数理统计4-1矩阵的特征值与特征向量

1、2021/6/71 第1节 矩阵的特征值与特征向量 第4章 矩阵的特征值 2021/6/72 说明说明., 0. 1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x ,0 ,. 2 值值有有非非零零解解的的 就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵 xAE An xAx xnnA 使关系式使关系式 维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶方阵阶方阵是是设设定义定义,1 . 0 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的 即即满满足足方方程程 A AE . , 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值为为 称称非非零零向向量量的的特特征征值值称

2、称为为方方阵阵这这样样的的数数那那末末成成立立 A xA 2021/6/73 说明说明., 0. 1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x ,0 ,. 2 值值有有非非零零解解的的 就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵 xAE An . 0 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的 即即满满足足方方程程 A AE ,0 ,.2 值值有有非非零零解解的的 就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵 xEA An . 0 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的 即即满满足足方方程程 A EA xAx xnnA 使使关

3、关系系式式 维维非非零零列列向向量量和和如如果果数数阶阶方方阵阵是是设设定定义义,1 . , 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值为为 称称非非零零向向量量的的特特征征值值称称为为方方阵阵这这样样的的数数那那末末成成立立 A xA 2021/6/74 0. 3 AE 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 0. 3 EA 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 2021/6/75 0. 3 AE 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元

4、称称以以n 0 AE . 的的为为A特征方程特征方程 ,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 AEf 称其称其 . 的的为为方方阵阵A特征多项式特征多项式 2021/6/76 0. 3 EA 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0 EA . 的的为为A特征方程特征方程 ,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称其称其 . 的的为为方方阵阵A特征多项式特征多项式 2021/6/77 4.特征向量的求法：特征向量的求法： i 设设为方阵为方阵A的一个特征值，的一个特征值， 则由则由 0)( xAE

5、i 可求得非零解可求得非零解 i p xAx )1(0 xAE 0 AE ss pkpkpkp 2211 不同时为零）不同时为零） s kk,( 1 是是设设 s ppp, 21 0)( xAE i 的基础解系，的基础解系， i 的特征向量的特征向量 i A的对应于特征值的对应于特征值 的全部特征向量是的全部特征向量是 2021/6/78 注意注意 特征方程特征方程00 EAAE 与与 有相同的有相同的 特征根；特征根； A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量是的特征向量是 0 xAE 的非零解，的非零解， 0 xEA 的非零解的非零解. 也是方程组也是方程组 xAx xnnA 使使关关系系

6、式式 维维非非零零列列向向量量和和如如果果数数阶阶方方阵阵是是设设定定义义,1 . , 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值为为 称称非非零零向向量量的的特特征征值值称称为为方方阵阵这这样样的的数数那那末末成成立立 A xA 2021/6/79 1.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的 注意注意 2.一个特征值具有的特征向量一个特征值具有的特征向量不唯一； 不唯一； . , ,1 的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值为为 称称非零向量非零向量的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立 使关系式使关系式

7、 维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶方阵阶方阵是是设设定义定义 A xA xAx xnnA 2021/6/710 解解 例例1 1 . 31 13 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A 的的特特征征多多项项式式为为A 31 13 1)3( 2 )2)(4(68 2 . 4, 2 21 的的特特征征值值为为所所以以A , 0 0 231 123 ,2 2 1 1 x x 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 EA 2021/6/711 . 0 , 0 21 21 xx xx 即即 , 21xx 解解得得. 1 1 1 p 基基础础解解系系为为 )0( 1 1 11 k

8、k2 1 是矩阵是矩阵A对应于对应于的全部特征向量的全部特征向量. . , 0 0 231 123 ,2 2 1 1 x x 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 2021/6/712 , 0 0 11 11 , 0 0 431 143 ,4 2 1 2 1 2 x x x x 即即 由由时时当当 , 21 xx 解得解得. 1 1 2 p 基基础础解解系系为为 例例1 1 . 31 13 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A )0( 1 1 11 kk4 1 是矩阵是矩阵A对应于对应于的全部特征向量的全部特征向量. . 2021/6/713 例例2 2 设设, 314 0

9、20 112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 解解 314 020 112 EA ,2)1( 2 02)1( 2 令令 . 2, 1 321 的特征值为的特征值为得得A 2021/6/714 由由解解方方程程时时当当. 0,1 1 xEA , 000 010 101 414 030 111 EA , 1 0 1 1 p得基础解系得基础解系 的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于1 1 ).0( 1 kpk 2021/6/715 由由解解方方程程时时当当. 02,2 32 xEA , 000 000 114 114 000 114 2 EA 得基础解系为：得基础解系为：

10、, 4 0 1 , 1 1 0 32 pp :2 32 的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,( 323322 不不同同时时为为 kk pkp k 2021/6/716 求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1. | ;AAEEA 计计算算 的的特特征征多多项项式式或或 12 2. | 0| 0 ,; n AEEA A 求求特特征征方方程程或或的的全全部部根根 就就是是 的的全全部部特特征征值值 3. , 00 ,. i ii i AE xEA x 对对于于特特征征值值求求齐齐次次方方程程组组 或或 的的非非零零解解 就就是是对对应应于于 的的特

11、特征征向向量量 2021/6/717 性质性质1 n阶矩阵阶矩阵A与它的转置矩阵与它的转置矩阵AT有相同的特征值有相同的特征值. 证明证明 | T AE |)( | T AE |AE 2021/6/718 性质性质2 设设)( ij aA 是是n阶矩阵，则阶矩阵，则 nnnn n n aaa aaa aaa AEf 21 22221 11211 |)( |)1()1( 1 1 ASa nkn k kn ii n i n ;)1( 221121nnn aaa . |)2( 21 A n 其中其中 k S是是A的全体的全体k阶主子式的和阶主子式的和. 是是设设 n , 21 是是A的的n个特征值，

12、则个特征值，则 A的迹，的迹，tr(A) 2021/6/719 性质性质3: n阶矩阵阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是是奇异矩阵的充分必要条件是A 有一个特征值为零有一个特征值为零. 证证 必要性必要性 若若A是奇异矩阵，则是奇异矩阵，则 . 0| A |0|AE|A 0|)1( A n 即即0是是A的一个特征值的一个特征值. 充分性充分性 设设A有一个特征值为有一个特征值为0， 对应的特征向量为对应的特征向量为p 由特征值的定义，有由特征值的定义，有 App0)0(0 p 所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组Ax=0有非零解有非零解p 由此可知由此可知|A|=0,即即A为奇异矩阵为奇异矩阵

13、. 2021/6/720 性质性质3 : n阶矩阵阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是是奇异矩阵的充分必要条件是A 有一个特征值为零有一个特征值为零. 推论推论n阶矩阵阶矩阵A可逆，当且仅当它的任一特征值可逆，当且仅当它的任一特征值 不为零不为零. 2021/6/721 例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 2 2 A(1) 是是的特征值的特征值; (2) (2) 当当A A可逆时可逆时, , 1 1 A是是 的特征值的特征值. xAx 1 AxAx 2 xA2 xA Ax x 推广推广.的特征值的特征值是是 m A m 2021/6/722 可得可得由由xAx x

14、xA 11 , 0,2 可可逆逆时时当当A . , 1111 的的特特征征向向量量 对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA 例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 2 2 A(1) 是是的特征值的特征值; xA 1 xA 1 AxA 1 m .的特征值的特征值是是 m A (2) (2) 当当A A可逆时可逆时, , 1 1 A是是 的特征值的特征值. 2021/6/723 例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 (1) .的特征值的特征值是是 m A m k（2）是是kA的特征值的特征值 xAx xkkAx xkx

15、kA)()( 2 k （3）是是kA2的特征值的特征值 xAx xkA2 )(AxkA xkA )(Axk xk 2 m k （4）是是kAm的特征值的特征值 2021/6/724 例例3 3 设设是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 (1) . 是是任任意意常常数数的的特特征征值值是是mAm m （2）是是kAm的特征值的特征值 m k （3）是是AA2的特征值的特征值 xAx xAA)( 2 xAAx 2 xx 2 2 结论结论 EaAaAaAa mm mm 1 1 10 x)( 2 mm mm aaaa 1 1 10 的特征值是的特征值是 若若是方阵是方阵A A的特征值的特

16、征值, , 则则 2021/6/725 EaAaAaAa mm mm 1 1 10 mm mm aaaa 1 1 10 的特征值是的特征值是 若若是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 则则 结论结论 mm mm axaxaxax 1 1 10 )( 设设 若若是方阵是方阵A A的特征值的特征值, , 则则.)(的的特特征征值值是是A )( 2021/6/726 例例4 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1,-1,2, 求求. |23| * EAA 解解 因因A的特征值全不为的特征值全不为0，知，知A可逆，故可逆，故 .| 1 AAA| A而而, 2 321 EAA23 .232 1

17、EAA ，令令EAAA232)( 1 , 23 2 )( 有有 故故)(A的特征值为的特征值为 , 1)1( . 3)2(, 3)1( |23|EAA . 93)3()1( 2021/6/727 定理定理1 n阶矩阵阶矩阵A的互不相等的特征值的互不相等的特征值m , 1 对应的特征向量对应的特征向量 m ppp, 21 线性无关线性无关. 2021/6/728 即即有有的的特特征征向向量量 的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为 , , 21 21 Ax xAxxAx 21 , xx 21 , 0 21 x , 0 21 由由于于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾 性质：一个特征向量不能属于不同的特征值性质：一个特征向量不能属于不同的特征值 2021/6/729 21 和和设设是矩阵是矩阵A的两个不同的特征值的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 2121 pppp ，证明，证明和和 A的特征向量的特征向量. 例例5 不是不是 21 pp 证明证明 用反证法，设用反证法，设是是A的特征向量，的特征向量， 按题设，有按题设，有 , 222111 pAppAp 则应存在数则应存在数 , 使使 ),()( 2121 ppppA 221121 )(ppppA ),( 2